Espectro de un operador de convolución

Question

Que $T$ sea el operador de $L^2(\mathbb R^n)$ $L^2(\mathbb R^n)$ que se da en $Tf := f * g$ $g$ dónde está en $L^2$.

¿Cómo puedo ahora encontrar que el espectro de $T$ es igual a la gama esencial de $\hat{g}$? ¿Cómo se relaciona el espectro de $T$ invertibility del operador $G\hat{f} = \hat{f}\hat{g}$?

El sombrero denota la transformada de Fourier.

Answer 1

El punto es que el Fourier transforme $\mathcal{F}$ conjuga $T$ a la multiplicación operador $S:h\mapsto\hat g h$ (es decir, $\mathcal{F}(f\ast g)=\hat g\mathcal{F}(f)$). Por lo tanto, $T$ y $S$ tienen el mismo espectro.