Yo he calculado la fracción continua de $\alpha=\frac{6+\sqrt{47}}{11}$ que es igual a $\overline{[1,5,1,12]}$. Ahora me pide calcular la fracción de continuación de $\sqrt{47}$ usando este resultado. No estoy seguro si existe una fórmula simple para calcular la fracción continua de $\sqrt{47}=11\alpha-6$.
Sé la respuesta a ser $\sqrt{47}=[6,\overline{1,5,1,12}]$ (comprobado por Mathematica) pero no está claro cómo llegar a este resultado con la respuesta anterior.
$(\sqrt{47}-6)(\sqrt{47}+6)=47-36=11$, que $$(\sqrt{47}-6)\alpha=(\sqrt{47}-6)\left(\frac{\sqrt{47}+6}{11}\right)=1\;,$$ and $% $ $\sqrt{47}-6=\frac1{\alpha}\;.$
Claramente $\lfloor\sqrt{47}\rfloor=6$, para saber que $$\sqrt{47}=6+\frac1{\left(\frac1{\sqrt{47}-6}\right)}=6+\frac1\alpha=[6,\overline{1,5,1,12}]\;.$ $
Sé la respuesta a ser $\sqrt{47}=[6,\overline{1,5,1,12}]$ (comprobado por Mathematica) pero no está claro cómo llegar a este resultado con la respuesta anterior.
No es necesario ingenio. La observación anterior hace la prueba mecánica. Lo anterior es cierto
$$\iff\ \sqrt{47}\: =\: 6 + \dfrac{1}{\overline{1,5,1,12}}\: =\: 6 + \dfrac{1}\alpha\ \iff\ \alpha \:=\: \dfrac{1}{\sqrt{47}-6}\: =\: \dfrac{\sqrt{47}+6}{11}$$
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