Destino a función analítica en el disco de la unidad

Question

El siguiente es un antiguo examen de calificación problema que me parece que no puede juntar:

Supongamos que tenemos una analítica de la función $f$ en la unidad de disco $\mathbb{D}$ s.t. $|f| \leq 1$. Espectáculo $$ \frac{|f(0)|-|z|}{1-|f(0)||z|} \leq |f(z)| \leq \frac{|f(0)|+|z|}{1+|f(0)||z|} $$.

He intentado dos cosas. En primer lugar, la descomposición de la $f$ en sus partes real e imaginaria, y aplicando la desigualdad de Harnack a cada uno (después de la adición de 1, de modo que es no negativa) y, a continuación, uniéndolas para que decir algo acerca de la $f$. Yo no podía conseguir que al cierre de la mirada a la desigualdad. En segundo lugar, definir $h(z) = \frac{f(z)-f(0)}{1+|f(0)|}$ y aplicar las Schwartz lema. Esto viene de cerca, pero no podía llegar a trabajar.

Answer 1

Utilizar una cartografía conformal del disco unidad para normalizar su función $f$, en lugar de la función lineal. Es decir, una asignación de la forma

$h(z) = \dfrac{z-a}{1-\bar{a}{z}}$, donde $|a| < 1$.

Tenga en cuenta que $|z| \le 1$, tenemos $|h(z)| \ge \left|\dfrac{ |z| - |a| }{1-|a||z|}\right|$.

Answer 2

Que $f(0) = a$ y consideremos la función $\phi_a(z) = \dfrac{a-z}{1-\bar{a}z}$. Aplicar el lema de Schwarz en $(\phi_a \circ f)(z)$ a utilizar el resultado que $|(\phi_a \circ f)(z)| \leq |z|$. De esta forma, utilizando el triángulo y la desigualdad de triángulo inverso que puede llegar a $\dfrac{|f(0)|-|z|}{1-|f(0)||z|} \leq |f(z)|$.

Asimismo aplicar el lema de Schwarz en $(\tilde{\phi}_a \circ f)(z)$ donde $\tilde{\phi}_a(z) = \dfrac{z-a}{1-\bar{a}z}$.

Esto le llevará a $ |f(z)| \leq \dfrac{|f(0)|+|z|}{1+|f(0)||z|}$