Evaluación $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{ GPF(n) GPF(n+1)}\,$, donde $\operatorname{ GPF}(n)$ es el factor principal de mayor

Question

$\operatorname{ GPF}(n)=$Mayor factor principal de $n$, por ejemplo. $\operatorname{ GPF}(17)=17$, $\operatorname{ GPF}(18)=3$.

$\operatorname{ LPF}(n)=$Menos en el primer factor de $n$, por ejemplo. $\operatorname{ LPF}(17)=17$, $\operatorname{ LPF}(18)=2$.

$P_n=n$'th primer número, por ejemplo. $P_5=11$.

Cómo evaluar la convergencia/divergencia/valor de las sumas

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\operatorname{ LPF}(n)}\,?$$

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{P_n\operatorname{ LPF}(n)}\,?$$

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\operatorname{ GPF}(n)\operatorname{ GPF}(n+1)}\,?$$

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\operatorname{ GPF}(n)\operatorname{ GPF}(n+1)\operatorname{ GPF}(n+2)}\,?$$

Cómo probar esto diverge? $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\operatorname{ GPF}(n)\operatorname{ GPF}(n+1)\operatorname{ GPF}(n+2)...\operatorname{ GPF}(n+1000)}\,?$$

Relacionado con:

La evaluación de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\operatorname{ GPF}(n)}$ donde $\operatorname{ GPF}(n)$ es el mayor factor primo

Answer 1

Difiere de la primera, basta con mirar los términos incluso $n$. La suma de estos "es" $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4k}$.

La segunda difiere, por resultado de Euler en divergencia de $\sum\frac{1}{p_n}$. Tenga en cuenta que resultado de Euler implica que diverge de $\sum \frac{1}{p_{2n}}$, y poniendo un $2$ en el denominador no ayuda.

El tercer problema es potencialmente difícil. Convergencia, si sucede, será muy lento.

Answer 2

Sospecho que la densidad asintótica de enteros $n$ $GPF(n) \le \sqrt{n}$ es positivo (y no me sorprendería si esto es demostrable). Que es el caso, también es probable (pero tal vez no demostrable con las técnicas actuales) que la densidad asintótica de enteros $n$ $GPF(n) GPF(n+1) \le n$ también es positivo, y por lo tanto esa serie 3 diverge.

EDIT: de hecho, la densidad asintótica de enteros con $GPF(n) \le \sqrt{n}$ es $\rho(2) = 1 - \ln 2$ $\rho$ Dónde está la función de Dickman de Bruijn.

Answer 3

Aunque no tengo una respuesta para el tercer problema, creo que vale la pena señalar la diferencia entre este y el anterior problema que hace que este problema es casi seguro intratable mientras tanto se avanza en los otros. La pregunta acerca de la $\Sigma 1/n\mathrm{GPF}(n)$, a pesar de la suma de frente, esencialmente multiplicativo de la naturaleza - el hecho de que $n$ se suministra con su propio mayor factor principal que permite la suma a ser convertido a 'inside out' y se expresa en términos de una suma de números primos, permitiendo la convergencia de ser demostrado mediante la comparación de secuencias.

Por el contrario, este problema paquetes de $n$$n+1$, capas de una estructura aditiva en el problema - y no se sabe prácticamente nada acerca de la estructura aditiva de los números primos y factorización. Creo que es seguro decir que no hay un consenso general de que el factoring 'se comporta de forma aleatoria' con respecto a la adición; es decir, que aparte de no ser factorable por los números que son factores de $n$, la factorización de $n+1$ 'se parece a' la factorización de cualquier otro número de más o menos tamaño, pero nadie sabe cómo probar algo como esto; cada conjetura de esta naturaleza que se puede pensar (el Doble de los números Primos es una conjetura, la infinitud de los números primos de Mersenne o incluso de los números primos junto a lisa números) es (hasta donde yo sé, de todos modos) abierto. Se siente seguro decir que su tercer problema es probable que así fuera del alcance actual de las matemáticas. (EDIT: deje que esto sea una lección para siempre cuidado con lo que dices está 'fuera de su alcance'! De hecho, como se señaló entre Robert Israel excelente respuesta de abajo y Eric Naslund comentarios, la divergencia de esta serie ya es demostrable; el punto clave es de suponer que la densidad de los números con 'lo suficientemente pequeño como' mayores factores primos es tan alto (es decir, positivo) que es posible demostrar que debe producirse de forma consecutiva con la suficiente frecuencia.)

Answer 4

Puedo probar la tercera de la serie diverge, pero no creo que se sepa si es o no el cuarto, o el más general de la serie, convergen. (Es un problema difícil, véanse las observaciones al final)

Hay una muy buena encuesta papel en números enteros sin grandes factores primos por Hildebrand y Tenenbaum. Ellos van a través de la historia de los resultados acerca de la $\psi(x,y),$ y el Dickmann Debruijn función. Para tu pregunta en particular, estamos interesados en

$$\psi_F(x,y):=\left|\left\{ 1\leq n\leq x:\ P\left(F(n)\right)\leq y\right\} \right|$$ donde $F$ es cualquier entero valorado polinomio. Hay pocos resultados sobre los polinomios, y algunos en relación con casos particulares, afortunadamente, uno de los cuales se ajusta exactamente este problema. En Hildebrand del papel De enteros grupos que contienen cadenas de enteros consecutivos, él demuestra que para $F(x)=\prod_{1\leq j\leq k}(x+j)$, tenemos $$\psi_F(x,x^\alpha)\asymp_{\alpha,k} x$$ provided $\alfa>e^{-1/(k-1)}.$ Ahora, yo no podía acceder al papel en el Cambridge journal sitio, así que no he leído, pero este resultado se conoce en el papel relacionados con los Polinomios de valores libre de los grandes factores primos por Dartyge, Martin y Tenenbaum, que es donde yo la vi por primera vez.

La divergencia de la tercera serie: Para $k=2$, el número de $n\leq x$ tal que $n(n+1)$ no tiene factores primos mayores, a continuación, $x^{1/e+\delta}$ está acotado abajo por una constante positiva múltiples de $x$. De esto se sigue que el conjunto de $$S:=\{n:\ P(n),\ P(n+1)\leq n^{\frac{1}{e}+\delta}\}$$ is dense in the integers.** Since $$\frac{1}{P(n)P(n+1)}\geq \frac{1}{P(n(n+1))^2},$$ by restricting the sum to the set $S$, we are summing $\frac{1}{n^{0.74}}$ más densa subconjunto de los números enteros, y por lo tanto, la serie diverge. (Una monótona secuencia positiva cuya serie diverge, todavía diverge cuando restringida a cualquier subconjunto denso)

El problema para el cuarto de la serie y más: podríamos intentar lo mismo para el cuarto de la serie, y ver el $k=3$ por encima. Sin embargo, sólo podemos tomar $\alpha=\frac{1}{\sqrt{e}}\approx 0.6$, y tenemos tres términos que nos lleva a la $n^{1.8}$, y que la serie converge. Si podemos reducir el límite en $\alpha$ en Hildebrand del Teorema de a $\alpha>\frac{1}{k+\delta}$ en lugar de $\alpha>e^{-1/(k-1)}$, entonces la serie iba a divergir para cualquier número de términos consecutivos. Creo que esto es probablemente cierto, y demostrando que sería interesante, pero no es fácil.

** Tenemos que tener cuidado cuando se cambia de $P(n)\leq x^{1/e+\delta}$ en un intervalo de tiempo, para mostrar el conjunto $S$ es densa, ya que $S$ se define con la condición de $P(n)\leq n^{1/e+\delta}$. Para realizar el cambio de manera rigurosa, permite llevar a $\delta/2$, y, a continuación, busque en el intervalo de $(x^{1-\delta/2},x)$. Sabemos que habrá, al menos, $cx$ enteros $n$ tal que $n(n+1)$ no tiene ningún factor primo mayor, a continuación,$x^{1/e+\delta/2}$. Para estos $n$, la misma condición que se mantiene con $P(n(n+1))\leq n^{1/e+\delta}$, así que hay al menos $cx$ enteros $n\in S$. Esto es válido para cada intervalo, para lo $S$ es densa.