Ejercicio sobre el espacio tangente

Question

Acabo de empezar de aprender sobre colectores de libro de Milnor. Estoy atrapado en el siguiente ejercicio, me dan alguna idea.

Que $U$ sea un subconjunto abierto de un colector $X$. Demostrar que para cualquier $x \in U$ $x$ $U$, el espacio tangente, es decir, es igual a $T_x(U)$ $T_xX$.

Answer 1

Como usted probablemente sabe, la topología de un colector incrustado en $\Bbb{R}^n$ es la topología de subespacio. Esto significa que un conjunto $A$ está abierto en $X$ si y solo si existe un conjunto $B$ abierta en $\Bbb{R}^n$ tal que $A = B \cap X$.

Primera nota de que $T_x U \subseteq T_x X$ en la forma más sencilla: Dado un local diffeomorphism $f: W \to V$ $W$ abierto en $\Bbb{R}^k$, $V$ abierta en $U$, e $f(0) = x$, podemos identificar a $T_x U = \operatorname{im} df_0$. Pero, también podemos considerar la posibilidad de $V$ como un conjunto abierto en $X$, por lo que la misma parametrización nos permite definir $T_x X = \operatorname{im} df_0$.

Si, por otro lado, comenzamos con $f: W \to V$ un local parametrización alrededor de $x \in X$, entonces debemos restringir $f$$f' = f|_{f^{-1}(V \cap U)}$, de modo que su diffeomorphism en $V \cap U$. El derivado tiene un local de definición de lo $T_x U = df'_0 = df_0 = T_x X$.