¿Puede definir un espacio del vector en términos de un espacio proyectivo preexistente?

Question

Espacios proyectivos son usualmente se define como el cociente de un espacio vectorial (por la relación de equivalencia que identifica vectores colineales). Sin embargo, en mi opinión, espacios proyectivos parecen intuitivamente menos estructurado y más primitiva de espacios vectoriales. Hay una manera de invertir el orden de la definición?

Espacios proyectivos puede ser definido axiomáticamente (aunque en una más forma geométrica de espacios vectoriales). Se puede extraer la estructura de un espacio vectorial de un activo subyacente proyectiva del espacio?

Answer 1

Los axiomas de espacios vectoriales suelen hablar sobre el espacio vectorial en sí mismo, y la subyacente escalares del campo, y la interacción entre estos dos. Así que si usted comienza con un espacio proyectivo, entonces usted necesitará para extraer un campo a partir de la primera. Yo no sé acerca de dimensiones superiores, pero en el caso del plano, esto es posible si y sólo si el teorema de Pappos sostiene en que el plano proyectivo. Lo cual no es cierto en todos los planos proyectivos. Un ingrediente clave para la construcción de un campo de geométricos hechos son las construcciones descrito por von Staudt, que se traduce algebraicas operaciones como la suma y la multiplicación en configuraciones geométricas. Una vez que tiene el campo, debería ser posible trabajar el vector de axiomas para un elegido de forma arbitraria origen y del mismo modo elegido de forma arbitraria de la línea en el infinito. No tengo detalles sobre esto.