Convergencia casi segura de suma de variables aleatorias independientes

Question

Que $\{{X_{j}}\}_{1}^{\infty}$ ser independiente r.v.s tal que $\sum E( |X_{j}|) <\infty$. Cómo mostrar que $\sum X_{j}$ converge casi seguramente. Puedo yo afirmar simplemente que cada $\epsilon>0, \exists N$ tal que $\forall j,k >N, E(|X{j}-X_{k}|)<\epsilon$. Proceda exactamente igual que en

Cómo mostrar la convergencia en probabilidad implica convergencia a.s. en este caso?

Answer 1

Aquí está una prueba simple. Por Teorema de convergencia monótona: $$ \sum_j E | X_j | = \Big E [\sum_{j} | X_j | \big]. $$ Se deduce de la hipótesis de que $E \big[ \sum_j |X_j| \big] < \infty$. Cualquier variable aleatoria con esperanza finita debe ser finita casi seguramente. Así, $\sum_j |X_j| < \infty$ casi con toda seguridad. Pero convergencia implica la convergencia absoluta de series, por lo tanto, $\sum_j X_j$ converge casi seguramente.