Prueba de la caracterización de tres puntos de holomorphy

Question

Este post en Matemáticas de Desbordamiento está buscando la fuente de la siguiente teorema:

Deje $D = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}$ denotar al abrir la unidad de disco. Una función de $f : D \to D$ es holomorphic fib tiene la siguiente propiedad: para cualquiera de los tres puntos en $D$, existe un holomorphic función de $g : D \to D$ que está de acuerdo con $f$ a los tres puntos.

Estoy interesado en la prueba. Una dirección es trivial, y por la otra dirección, el post dice que hay un "fácil", pero ingeniosa prueba utilizando sólo Schwarz del lema y del teorema de Montel. Así que supongo que la idea general es mirar a la familia de funciones $g$ que son holomorphic y de acuerdo con $f$ en tres o más puntos, y a encontrar, dentro de esta familia, una sucesión que converge a $f$. Al principio pensé que esto podría requerir una enumeración de una contables subconjunto denso de $D$, pero ahora creo que tal vez es posible demostrar que el $f$ es diferenciable en a $0$, y el uso de un Möbius las transformaciones que $z_0 \mapsto 0$ a mostrar la diferenciabilidad en $z_0 \neq 0$.

La única otra información que yo he sido capaz de encontrar en línea es un post en este blog, "Cálculo VII", lo que explica por qué el teorema no se cumple con menos de tres puntos, ni con el codominio de ser todos los de $\mathbb{C}$.

Por favor no publique una solución completa. Este es etiquetado como tarea.

Answer 1

Si desea una contables subconjunto denso de $\Bbb D$ conseguir la unión de $A\cup B$ donde$A=(-1,1)\cap \Bbb Q$$B=i(-1,1)\cap \Bbb Q$. A continuación, $A\cup B$ es denso en $\Bbb D$ debido a la densidad de los racionales.

Ahora, construir una familia de holomorphic funciones (como la de la $g$). Entonces son localmente delimitado y, a continuación, a partir del teorema de Montel hay una larga que converge uniformemente en los compactos de subconjuntos de a $\Bbb D$.

"""Ahora el uso de Weierstrass del convergance teorema que establece que:

Deje $A\subset \Bbb C$ ser un abrir y $(f_n)$ ser una secuencia de holomorphic funciones de $A\to \Bbb C$ $f$ una función tal que $f_n\to f$, de manera uniforme en el compacto de subconjuntos de a $A$. A continuación, $f$ es holomorphic en $A$.(Por otra parte $f'_n\to f'$ uniformemente en los compactos de subconjuntos de a $A$-no necesitas esta en esta prueba).

La parte difícil es demasiado demostrar que el límite de la secuencia que va a construir, se $f$.

Usted puede construir un triángulo dentro de $\Bbb D$ ,consiguiendo tres puntos arbitrarios en $\Bbb D$. A continuación, mantenga estable en uno de estos puntos y ejecutar las otras dos para construir una $Λ$. A continuación, ejecute un punto más para construir un triángulo $\triangle$. Tener en cuenta que un triángulo es compacto.(El teorema de Weierstrass).

Comience con el triángulo y con la lógica que construye,encontrar el holomorphic funciones que la secuencia que va a construir convergerán a $f$."""

Creo que usted debe utilizar Schwarz lema acerca de los puntos fijos. Se dice que Si $f$ es holomorphic en la unidad de disco $D$ $|f(z)|<1$ todos los $z∈D$ y tiene dos puntos fijos en el $D$ $f(z)=z$ por cada $z∈D$.

Intente algo como $f^{-1}og$. Este tiene tres distintos puntos fijos.Buena suerte!