Mostrando que $7+\sqrt[3]{2}$ es un número algébrico

Question

¿Cómo puedo demostrar que $7+\sqrt[3]{2}$ es un número algébrico?

¿Es necesario mostrar que es la raíz de un polinomio formal número entero valorado? ¿Cómo se resuelve estos problemas en general? No tengo ni idea donde empezar en este caso, por lo que es difícil de dar contexto.

Tal vez se resuelva el problema utilizando los métodos de teoría del anillo.

Answer 1

Pues si te las arreglas para encontrar un polinomio con eso como su raíz, entonces es un número algébrico. La opción más obvia sería su polinomio mínimo.

$x=7+\sqrt[3]{2}$

$(x-7)^3=2$

Que ampliar y mover todos los términos a un lado, y hay tu polinomio.

También me gustaría añadir que no todos los problemas son este triviales. Por ejemplo, mostrando que el $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ requiere un poco más trabajo. Peor aún es algo así como $\cos \left ( k \pi \right )$ donde $k\in\mathbb{Q}$

Answer 2

Las otras respuestas son grandes (+1), pero lo que si se había dado la más complicada número como $\sqrt{3} + \sqrt[4]{5} + \sqrt[3]{17} + 1/\sqrt{2}$? De hecho, sería casi imposible encontrar un polinomio con este número como una raíz!

Así, el conjunto de todos los números algebraicos es un campo, y como tal, con una más complicada número como en el anterior, bastaría para mostrar que $\sqrt{3}$, $\sqrt[4]{5}$, $\sqrt[3]{17}$, y $\sqrt{2}$ son todos algebraicas. A continuación, puede aplicar el campo axiomas a la conclusión de que el número en cuestión es algebraico.

Se podría aplicar este enfoque a su problema, ya que es bastante obvio que $7$ $\sqrt[3]{2}$ son algebraicas. Pero claro, como las otras respuestas han demostrado, es también bastante fácil de probar directamente por la construcción de un polinomio para que $7+\sqrt[3]{2}$ es una raíz.

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Notas a pie de página:

Usted puede probar que los números algebraicos forman un campo en un par de maneras diferentes.

• Una forma de hacerlo es seguir Ragib del enfoque en su respuesta aquí, donde se está aplicando el hecho de que cada elemento de una extensión de un campo de $F$ finito de grado es algebraico sobre $F$. Este enfoque es quizás el más accesible para un principiante.

• Con mayor generalidad, el lema de Zorn se puede utilizar para mostrar que cada campo $F$ tiene lo que se llama una expresión algebraica de cierre, que es un algebraicamente cerrado campo de la extensión de $F$ cuyos elementos son todos los algebraicas sobre $F$. Ver aquí para una prueba.

Answer 3

Me gustaría encontrar un terreno intermedio entre estos excelentes respuestas. Voy a utilizar dos resultados sin la prueba. Usted puede intentar para ver si usted puede probar estos, a ti mismo.

1. Si $R$ es un anillo de extensión de un campo de $F$, $R$ es un espacio vectorial sobre $F$.

2. Si $u$ es algebraica sobre un campo $F$, $F[u]$ es finito-dimensional espacio vectorial sobre $F$.

(Sugerencia: suponga $p(x)\neq 0 \in F[x]$ es tal que $p(u) = 0$. Mostrar que si $m = \text{deg }p$, $\{1,u,u^2,\dots,u^m\}$ es linealmente dependiente sobre $F$. ¿Por qué es esto suficiente?)

Ahora claramente $\Bbb Q$ es un campo, y $\sqrt[3]{2}$ es algebraico sobre $\Bbb Q$ (es una raíz de $p(x) = x^3 - 2 \in \Bbb Q[x]$), y tenemos $7 + \sqrt[3]{2} \in \Bbb Q[\sqrt[3]{2}]$. Por lo tanto, si $\dim_{\Bbb Q}(\Bbb Q[\sqrt[3]{2}]) = k$, tenemos que:

$\{1, 7 + \sqrt[3]{2},(7 + \sqrt[3]{2})^2,\dots,(7 + \sqrt[3]{2})^k\}$ debe ser un $\Bbb Q$-linealmente dependiente de conjunto, es decir, no existen:

$c_0,c_1,\dots,c_k \in \Bbb Q$ no todos los $0$ tal forma que:

$c_0 + c_1(7 + \sqrt[3]{2}) + c_2(7 + \sqrt[3]{2})^2 + \cdots + c_k(7 + \sqrt[3]{2})^k = 0$.

Por lo tanto, si $q(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_kx^k$, evidentemente $q(7 + \sqrt[3]{2}) = 0$, lo $7 + \sqrt[3]{2}$ es algebraico.

(Tenga en cuenta que este "milagrosamente" se produce nuestro resultado deseado, sin encontrar el polinomio que queremos).