demostrar que $BA=\begin{bmatrix}9 & 0\\ 0 & 9\end{bmatrix}$

Question

Quiero probar la siguiente pregunta pero no tengo ni idea para empezar!

que $A$ ser una matriz de #% de #% % y $3\times2$ un $B$ uno. Si $2\times3$

luego demostrar que $AB=\begin{bmatrix}8 & 2 &-2 \\2 & 5 & 4 \\-2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$. [sugerencia: if $BA=\begin{bmatrix}9 & 0\\ 0 & 9\end{bmatrix}$ entonces tiene $AB=I$]

Answer 1

Tenga en cuenta que el rango $(AB)=2$. Pero rango $(BA) \geq \text{rank}(AB)^2$ porque $(AB)^2=(AB)(AB)=A(BA)B$. Calcular $$(AB)^2=\begin{bmatrix}72 & 18 & -18\\18&45&36\\-18&36&45\end{bmatrix}=9(AB).$ $ pero fila $(AB)^2=2$(follows from above matrix equality), así que la fila $(BA) \geq 2$. Puesto que es el $BA$ $2 \times 2$, es decir $BA$ es inversible. Ahora tenemos\begin{align*} (BA)^3 & = (BA)(BA)(BA)\\ &=B(AB)^2A\\ &=B(9AB)A\\ &=9(BA)(BA)\\ &=9(BA)^2\\ BA&=9I. \end{align*}

Answer 2

Probablemente hay más corto de argumentos, pero tal vez algo como esto:

1. $AB$ es simétrica y tiene una base de vectores propios $v_1$, $v_2$ y $v_3$ con los correspondientes autovalores $9$, $9$ y $0$.
2. $AB$ $BA$ tiene la misma no-cero autovalores (ver por ejemplo aquí).
3. Multiplicando por $B$ desde la izquierda, nos encontramos con que $Bv_1$ $Bv_2$ son vectores propios correspondientes a $BA$ con autovalores $9$. (Tenga en cuenta que estos vectores son no-cero).
4. Los vectores $Bv_1$ $Bv_2$ son linealmente independientes, ya que, multiplicando por $A$, nos encontramos con que $Bv_1=kBv_2$ implica $9v_1=k9v_2$ que no puede sostener desde $v_1$ $v_2$ son ortogonales.
5. Esto implica que $BA$ es diagonalizable $2\times2$-matriz con doble autovalor $9$. Llegamos a la conclusión de que $BA=9I$, ya que, podemos escribir $BA=SDS^{-1}$ $D$ diagonal con nueves en la diagonal.