Problemas del Cuaderno Kourovka que los estudiantes universitarios pueden apreciar plenamente

Question

Cuaderno Kourovka es una colección de problemas abiertos en el Grupo Teoría de Grupos.

Mi pregunta es: ¿podría indicarnos algunos (una "gran lista" de) problemas [haciendo referencia a ellos] presentados en este libro que sean, en principio, accesibles para estudiantes no graduados? es decir Problemas que hacen referencia a definiciones, conceptos y teoremas presentados en un libro como el de Herstein (y que posiblemente puedan resolverse aplicándolos). Temas de álgebra (y luego, por extensión, en un curso de álgebra abstracta para estudiantes universitarios).

El objetivo de esta pregunta es permitir que los estudiantes universitarios comprendan mejor la investigación actual en álgebra, haciéndoles ver concretamente problemas abiertos que pueden relacionarse fácilmente con conceptos conocidos.

Answer 1

Problema 8.10(a) de la 8ª edición (1982):

¿Es el grupo $G = \langle a, b \mid a^n=1, ab = b^3 a^3 \rangle$ finito o infinito para $n = 7$ ? Todos los demás casos conocidos. Véase Archivo, 7.7 y 8.10 b. ( D. L. Johnson )

Observación:

• para $n=3$ el grupo tiene el orden 6 (debería ser un ejercicio fácil para un estudiante comprobar esto a mano y demostrar que es cíclico)

• para $n=6$ tiene el orden 9072 (quizá no sea tan fácil comprobarlo a mano, pero puede hacerse con el ordenador).

• para $n=7$ el cálculo informático se prolonga demasiado sin respuesta.

• Se sabe que $G$ es infinito para:

  • $n = 15$ en [D. J. Seal, Proc. Roy. Soc. Edimburgo (A), 92 (1982), 181-192].
  • $n = 9$ (y $15$ ) en [M. I. Prishchepov, Commun. Algebra, 23 (1995), 5095-5117].

Un ejemplo en GAP ilustra el problema:

gap> F:=FreeGroup("a","b");
<free group on the generators [ a, b ]>
gap> G:=F/ParseRelators(GeneratorsOfGroup(F),"a^3=1,ab=b^3*a^3");
<fp group on the generators [ a, b ]>
gap> Size(G); # could be easily done by hand
6
gap> G:=F/ParseRelators(GeneratorsOfGroup(F),"a^6=1,ab=b^3*a^3");
<fp group on the generators [ a, b ]>
gap> Size(G);
9072
gap> G:=F/ParseRelators(GeneratorsOfGroup(F),"a^7=1,ab=b^3*a^3");
<fp group on the generators [ a, b ]>
gap> IsFinite(G);
#I  Coset table calculation failed -- trying with bigger table limit
#I  Coset table calculation failed -- trying with bigger table limit
... GAP was interrupted ...

El mensaje de que el cálculo de la tabla de cosets ha alcanzado el límite es a menudo un leve indicio de que puede ser infinito, pero no es ni mucho menos la prueba: aún es posible que el cálculo tenga éxito después de aumentar el límite varias veces.

Así pues, el problema para $n=7$ sigue abierto...

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Actualización La respuesta a esta pregunta figura ahora en la 7ª revisión de la 18ª edición del Cuaderno Kourovka ( http://arxiv.org/abs/1401.0300 ):

Este grupo es infinito, porque contiene al grupo de Fibonacci $F(3, 7)$ como índice $7$ subgrupo. Esto se deduce del Teorema 3.0 de (C. P. Chalk, Commun. Algebra 26, no. 5 (1998), 1511-1546) mediante la técnica estándar para trabajar con grupos Fibonacci (G. Williams, Carta del 6 de octubre de 2015).

Answer 2

Problema 15,99 de la 15ª edición (2002):

Sea $f(n)$ sea el número de clases de isomorfismo de grupos finitos de orden $n$ . ¿Es cierto que la ecuación $f(n) = k$ tiene solución para cualquier entero positivo $k$ ? La respuesta es afirmativa para todos $k \le 1000$ [G. M.Wei, Southeast Asian Bull. Math. 22, no. 1 (1998), 93-102]. ( W. J. Shi )

Answer 3

Problema 17.76 de la 17ª edición (2010):

¿Existe un grupo finito $G$ con $|G| > 2$ tal que hay exactamente un elemento en $G$ que no es un conmutador? ( D. MacHale )

Answer 4

Problema 18.49 de la 18ª edición (2014):

Sea $n \in \mathbb{N}$ . ¿Es cierto que para cualquier $a, b, c \in \mathbb{N}$ satisfaciendo $1 < a, b, c \le n-2$ el grupo simétrico $S_n$ tiene elementos de orden $a$ y $b$ cuyo producto tiene orden $c$ ? ( S. Kohl )

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Actualización 7ª revisión de la 18ª edición del Cuaderno Kourovka ( http://arxiv.org/abs/1401.0300 ) dice que la respuesta es positiva y remite al preprint Nota sobre el producto de dos permutaciones de órdenes prescritos por Joachim König. Del resumen:

Probamos una conjetura de Stefan Kohl sobre la existencia de tripletes de permutaciones de grado acotado con órdenes prescritos y producto 1. Este resultado conduce a un resultado de existencia para cubiertas de la línea proyectiva compleja con grado acotado e índices de ramificación prescritos.

Ver también https://mathoverflow.net/q/118092/

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Actualización 2 : 19ª edición del cuaderno Kourovka ( https://arxiv.org/abs/1401.0300 ) ofrece una referencia: A note on the product of two permutations of prescribed orders, J.König, Eur. J. Comb., 57 (2016), 50-56, https://doi.org/10.1016/j.ejc.2016.03.006 .