Yo estaba buscando en un examen global, y me encontré con esta pregunta. Alguien me puede ayudar?
Si $u$ es una función armónica, que tipo de función $f$ es necesario para que $f(u)$ es armónico?
Respuesta
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Tenga en cuenta que $u$ es armónica si y sólo si $$\Delta u:=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0.$$ Therefore, if $u$ armónico, por la regla de la cadena tenemos $$\Delta f(u)=\frac{df}{du}\Big(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\Big)+\frac{d^2f}{du^2}\Big(\big(\frac{\partial u}{\partial x}\big)^2+\big(\frac{\partial u}{\partial y}\big)^2\Big)=\frac{d^2f}{du^2}\Big(\big(\frac{\partial u}{\partial x}\big)^2+\big(\frac{\partial u}{\partial y}\big)^2\Big).$$ Si $u$ es una función constante (que es armónico), a continuación,$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0$. De lo anterior se desprende de la fórmula que $f(u)$ es armónico para cualquier función de $f$. Por otro lado, si $u$ es un no constante armónico de la función, a continuación,$\big(\frac{\partial u}{\partial x}\big)^2+\big(\frac{\partial u}{\partial y}\big)^2\neq 0$. De nuevo se deduce de la fórmula anterior que $f(u)$ es armónico cuando $\frac{d^2f}{du^2}=0$, es decir, cuando se $f$ es una función lineal en $u$: $$f(u)=Au+B,$$ donde $A$ $B$ son constantes.
