Conjunto de lugares en donde el símbolo de Hilbert no es igual a $1$

Question

Deje $V$ el conjunto de prime junto con el símbolo $\infty$. Para un primer $v=p$, indicar el $p$-ádico números por $\mathbb{Q}_p$, y el de los números reales por $\mathbb{Q}_\infty$. Para $v\in V$ Hilbert símbolo está definido por $a,b\in\mathbb{Q}^*_v$

\begin{align*} (a,b)_v=\begin{cases}+1,&\text{ if }ax^2+by^2=z^2\text{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in \mathbb{Q}_v^3;\\-1,&\text{ else.}\end{casos} \end{align*}

Además, para $v\in V, a,b\in\mathbb{Q}^*$ denotamos por a $(a,b)_v$ Hilbert símbolo de $(\bar a,\bar b)_v$ donde $\bar a,\bar b$ son las imágenes de $a,b$$\mathbb{Q}_v$.

Ahora un teorema por Hilbert dice que $(a,b)_v=1$ en casi todas las $v\in V$ (y que, además, la $\prod_{v\in V}(a,b)_v=1$, pero no me interesa en este momento). El teorema se puede encontrar en "Un curso de Aritmética" de Jean-Pierre Serre, por ejemplo.

Básicamente dice que hay un conjunto finito $E\subseteq V$ tal que \begin{align*} (a,b)_v=\begin{cases}+1,&\text{ if }v\notin E\\-1,&\text{ if }v\in E\end{casos} \end{align*}

Mi pregunta es si este conjunto $E$ tiene un nombre común en la literatura. Algo como $E_{a,b}$ tendría sentido para mí (ya que depende de $a$$b$). Si no se utiliza ampliamente nombre, ¿cuáles son sus sugerencias?

Answer 1

No sé de un término común para este conjunto, pero llamando a un conjunto de Hilbert o algo similar sería razonable. Permítanme proponer algo sólo un poco más de lujo a continuación.

Tenga en cuenta que $(a,b)_v=-1$ si y sólo si el álgebra de cuaterniones $\langle a,b\rangle_\mathbb{Q}$ (de entre cientos de otras notaciones) se ramifica en $v$, es decir, si $v$ divide su discriminante. Así que si estás en un entorno donde, dicen, la geometría algebraica lenguaje era conveniente, usted puede llamar a este conjunto de la "Hilbert apoyo de $\langle a,b\rangle$", o tal vez hacer referencia a la Hilbert radical si fuera más conveniente referirse a que el producto de dichos números primos (que, en ocasiones, es útil).

Edit: veo que el SABIO llama al Hilbert conductor de lo que yo llamo el de Hilbert radical. Que también funciona.