Combinaciones: Dibujo canicas de una bolsa

Question

Problema

Me han dicho que una bolsa de canicas contiene $10$ rojo y $5$ mármoles blancos. Cada uno de los rojo y blanco de los mármoles se numera de tal manera que son distintas dentro de sus propios grupos, es decir,

$R = \{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\}$

$W = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Me piden calcular cuántas combinaciones hay si soy para seleccionar $4$ canicas de la bolsa, pero al menos uno de ellos debe ser de mármol rojo.

Intento

Si hay al menos $1$ mármol, luego de que el es $10$ elija $1$, sólo $10$. Después, nos quedamos con $14$ canicas en total y la necesidad de elegir a $3$ de ellos, lo cual es $364$. Multiplicando por $10$, I se $3,640$, pero la clave de respuestas dice que se supone que debe de ser $1,360$.

¿De dónde me salen mal?

Edit: he intentado utilizar el conteo por el complemento de la regla y tengo la respuesta correcta, pero todavía estoy ansioso por ver lo que está mal con este enfoque.

Answer 1

Lo que está mal con este enfoque?

Cuando usted seleccionó $1$ mármol rojo en la primera ronda (por 10 maneras), supongamos que usted seleccionó $a$. Ahora más tarde, se seleccionaron 3 más canicas, vamos, $b,c$$d$. Ahora eche un vistazo en otro caso. Supongamos que usted había seleccionado a $b$ en la primera ronda y $a,c$ $d$ en la segunda ronda. No te parece que estos son los mismos casos pero que han contado con ellos en varias ocasiones. Por lo tanto, su respuesta es mucho mayor que la respuesta correcta (Debido a la repetitivo recuento de los mismos casos)

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¿Qué hacer ahora?

Solo en el conteo de los casos, cuando no había ni una sola mármol rojo seleccionado, y restar ese número de total de los casos, para obtener el número de casos con al menos uno de mármol rojo.

Answer 2

Un conteo directo del número de selecciones con al menos una canica roja es $$\binom{10}{1}\binom{5}{3} + \binom{10}{2}\binom{5}{2} + \binom{10}{3}\binom{5}{1} + \binom{10}{4}\binom{5}{0} = 1360$$ lo que puede obtenerse más fácilmente obtenida mediante el uso complementario de contar. $$\binom{15}{4} - \binom{5}{4} = 1360$$

Contaba selecciones en las que hay más de uno mármol rojo varias veces. Por ejemplo, si seleccionó $\{a, b, 1, 2\}$, contados dos veces, una vez cuando contaba $a$ como el designado de mármol rojo y una vez cuando contaba $b$ como el designado de mármol rojo.

En general, cualquier selección con dos canicas rojas se cuenta dos veces, una para cada una de las $\binom{2}{1}$ formas de la designación de un particular mármol el mármol rojo seleccionado. Contaba cada selección con tres canicas rojas tres veces, una vez para cada una de las $\binom{3}{1}$ maneras que usted podría designar a un particular de mármol rojo como el mármol rojo seleccionado, y cada selección con cuatro canicas rojas cuatro veces, una vez para cada una de las $\binom{4}{1}$ maneras que usted podría designar a un particular de mármol rojo como el mármol rojo seleccionado. Tenga en cuenta que $$\binom{10}{1}\binom{5}{3} + \binom{2}{1}\binom{10}{2}\binom{5}{2} + \binom{3}{1}\binom{10}{3}\binom{5}{1} + \binom{4}{1}\binom{10}{4}\binom{5}{0} = 3640$$