Elkies' supersingularity teorema de la dimensión superior

Question

El siguiente es un teorema de Elkies:

Deje $X$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$. A continuación, hay una infinidad de números primos $p$ de manera tal que la acción de Frobenius en $H^1(\mathcal{O}, X)$ es cero.

Allen Knutson y me gustaría similar teorema de las dimensiones superiores Calabi-Yau variedades. Por desgracia, nos han dicho que este es probablemente abiertas. (Referencias por el hecho de que es abierto son apreciados.) Pero no necesitamos toda la fuerza de Elkies' resultado. Sería suficiente para nosotros saber lo siguiente:

Deje $X$ $n$- dimensional, suave, completa Calabi-Yau variedad de más de $\mathbb{Q}$$n>0$. Escribir $X/p$ para la fibra de $X$$p$. Deje $T(p)$ de la acción de Frobenius en $H^n(\mathcal{O}, X/p)$. Hay infinidad de $p$ que $T(p) \neq 1$? También, en la misma generalidad, hay una infinidad de números primos para que $T(p) \neq 0$?

Answer 1

En primer lugar, yo no soy un experto en esto. Permítanme darles los nombres de tres expertos: Noam Elkies, Abhinav Kumar, Matías Schuett.

El primer resultado que usted desea es tan fuerte, que debe ser abierta. Estoy bastante seguro de que es abierto, incluso en la dimensión 2 -- K3 superficies, de manera que probablemente debería empezar con eso. (No veo cómo una referencia podría establecer que un problema está abierta. En el mejor de los casos, se abrirán a partir de tal momento. Mejor preguntar a la gente por encima.)

Tal vez la pregunta correcta es ¿cuál es el más general de la clase de superficies 3d que puede ser demostrado tener un número infinito de números primos de supersingular (resp. ordinario) reducción? Creo que el caso de singular K3 (es decir, con Picard número 20) debe ser el más fácil debido a las conexiones con la teoría de los complejos de la multiplicación. Espero que el resultado es probablemente conocida en este caso, al menos para ciertos CM de tipos. Usted también debe mirar a Kummer superficies debido a la conexión a abelian superficies (es cierto que supersingularity/ordinario pasa de la abelian superficie a su Kummer superficie? parece plausible). Hay un montón de resultados en números primos de ordinario reducción de abelian variedades: una conjetura de Serre es que, después de un número finito de cambio de base, la densidad de los primos de ordinario reducción es siempre igual a uno, y una gran cantidad de casos especiales de que las conjeturas son ahora conocidos (p. ej., posiblemente para todos los abelian superficies).

Algunos de los anteriores deben generalizar a Calabi-Yau con complejo de multiplicación, creo.

Es una pregunta muy interesante: por favor, háganos saber lo que descubres.

ANEXO: he Aquí un improvisando idea es mostrar que el problema debe estar abierta: comenzar con una curva elíptica E más de un imaginario cuadrática campo K. sea a la Weil restricción de K para Q, un abelian de la superficie. Sea X el Kummer superficie. Como en el anterior, supongo que X es ordinario/supersingular iff E/K es, y esto es bien conocido por ser un problema abierto en general: hay algunos ejemplos debido a Elkies y Jao donde la infinitud de supersingular de los números primos puede ser probado, pero muy pocos.

Answer 2

Su pregunta se relaciona con la división de Frobenius. Es decir, tenemos el siguiente hecho (Brion-Kumar "Frobenius la división de los métodos de la geometría y la teoría de la representación", Comentario 1.3.9 (ii)):

Una completa variedad lisa $X$ más de una algebraicamente cerrado campo de la característica $p>0$ es Frobenius split si y sólo si el pullback mapa de $F^*: H^n(X, \omega_X)\to H^n(X, \omega_X^p)$ es distinto de cero.

Dado que, en su caso $\omega_X = \mathcal{O}_X$, esto es exactamente la misma pregunta. Podemos ser aún más general y preguntas como "żqué característica cero variedades son (o no son) Frobenius split para $p$ suficientemente grande (o una infinidad de $p$)".

Un resultado de este tipo (Brion-Kumar, ejercicio en el párrafo 1.6) es que si $X$ es de Fano, a continuación, $X/p$ es Frobenius split para $p$ lo suficientemente grande.

Por otra parte, en su reciente trabajo, Mustata y Smith proponer una hipótesis de este tipo en el caso local. No sé los detalles suficientes para decirlo con precisión, pero dice algo como "$fpt(X/p) = lct(X)$ para infinidad de $p$", donde $X$ es una singularidad podemos reducir mod $p$, $fpt$ es el Frobenius puro umbral y $lct$ es el registro canónica de umbral. He oído que esta conjetura implica que todas las características de cero abelian variedades a ser habitual cuando se reduce el modulo infinidad de $p$.