El espacio de la tangente de una variedad en un punto dado como el núcleo de la jacobiana de una inmersión

Question

Deje $\phi:M\to N$ es un buen mapa, $q\in N$ regular valor, y $V=\phi^{-1}(q)$. Quiero demostrar que, para cada $p\in V$, $T_p(V)= \mathrm{ker}(\phi_*)\subseteq T_p(M)$ (donde $\phi_*$ es el diferencial de $\phi$).

Desde $q$ es regular, sé que $\phi_*(T_p(M))=T_q(N)$. Creo que puedo decir $\phi_*(T_p(V))=T_q(\{q\})=0$. Pero no sé por qué,$\phi_*^{-1}(0)=T_p(V)$. De entrada, sería muy apreciado.

Answer 1

Tienes razón con la inclusión $T_p(V)\subset \ker(\phi_*)$. Simplemente tome $v\in T_p(V)$ y deje $\alpha(t)$ ser una curva en $V$ tal que $\alpha(0)=p$$\alpha'(0)=v$ , entonces tenemos que

$$\phi_*(v)=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\phi(\alpha(t))=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}q=0.$$

Finalmente, obtenemos la igualdad de $T_p(V)=\ker(\phi_*)$ por la dimensión de conteo.

Answer 2

Sugerencia: Deje $j : V \to M$ ser canónica de la inyección. Mostrar que $dj(p) : T_pV \to T_pM$ induce un isomorfismo entre el$T_pV$$\mathrm{ker} (d\phi(p))$.