Es un submódulo de un plano del módulo de piso?

Question

Este es probablemente obvio, pero estoy pegado pensando:

Deje $A$ ser un anillo conmutativo con unidad, $M$ plana $A$-módulo, y $N\subset M$ un submódulo.

Es $N$ necesariamente plana por $A$?

No he encontrado un contraejemplo sencillo, pero también no he encontrado más que una vaga intuitiva razón para pensar así. Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $A=\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$. A continuación, $A$ es plano sobre la misma, pero el ideal de $I:=2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$ no es plana por $A$. Esto es porque cuando nos tensor de la inyección de $I\hookrightarrow A$$I$, se obtiene el mapa de $I\otimes_AI\rightarrow I$ que envía a $r\otimes s$$rs$, es visible el cero mapa. El grupo $I\otimes_AI$ no es cero porque es isomorfo a $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\otimes_{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\cong \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$. Por lo $I\otimes_AI\rightarrow I$ no es inyectiva.

Sin embargo, si $A$ es un director ideal de dominio, o más en general, un dominio de Dedekind, entonces submódulos de tv de $A$-los módulos son planas, porque por ejemplo un anillo de $A$, tv de$=$torsiones, y está claro que submódulos de torsión libre de módulos de torsión libre (a través de cualquier dominio).

Answer 2

Deje $A$ ser un anillo. A continuación, $A$ es de curso plana por $A$. Pero los sub-módulos de $A$ son sólo ideales, y estos son raramente plana por $A$.