Si $\{M_i\}_{i \in I}$ es una familia de $R$ -libre, entonces el producto $\prod_{i \in I}M_i$ ¿es gratis?

Question

Si $\{M_i\}_{i \in I}$ es una familia de $R$ -módulos, entonces $\bigoplus_{i \in I}M_i$ es gratis.

¿Es esto cierto para el producto $\prod_{i \in I}M_i$ ¿también?

Answer 1

Por un teorema de Chase (véase Anderson-Fuller, teorema 19.20), las siguientes condiciones son equivalentes:

1. todo producto directo de derecho plano $R$ -módulos es plana,

2. el derecho $R$ módulo $R^X$ (producto directo) es plano para todo conjunto $X$ ,

3. $R$ se deja coherente.

Como corolario, se puede deducir (véase la nota después del corolario 28.9 en Anderson-Fuller) que todo producto directo de derecho proyectivo (o libre) $R$ es proyectiva si y sólo si $R$ es perfecto por la derecha y coherente por la izquierda. En particular, los productos de la derecha proyectiva (libre) $R$ -es proyectiva siempre que $R$ se queda artiniano.

(Nótese que un producto directo de módulos proyectivos es un sumando directo de un producto directo de módulos libres, por lo que en el corolario es irrelevante si decimos "todo producto directo de módulos proyectivos es proyectivo" o "todo producto directo de módulos libres es proyectivo").

Ya que, por ejemplo, $\mathbb{Z}$ no es correcto perfecto, hay un conjunto $X$ tal que $\mathbb{Z}^X$ (producto directo) ni siquiera es proyectivo. Por supuesto, cuando $R^X$ no es proyectiva, entonces $R^Y$ no es proyectiva para ningún conjunto $Y$ tal que $|Y|\ge |X|$ porque $R^X$ se ve fácilmente que es un sumando directo de $R^Y$ . Ya que (no es fácil, ver el respuesta ya enlazada en MathOverflow ) un producto contable de copias de $\mathbb{Z}$ no es libre (proyectivo y libre es lo mismo para grupos abelianos), ningún producto directo infinito de grupos abelianos libres es libre.

Referencia

Anderson y Fuller, Rings and Categories of Modules, segunda edición, Springer, 1992

Answer 2

El producto de los módulos libres no tiene por qué ser gratuito. Incluso el producto infinito de grupos abelianos libres puede no ser libre, aunque esto no es fácil. Véase esta respuesta en MO .