Sé que $$ \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2}} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. $$
Mi pregunta es: $$ \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} dx = ~? $$
Respuestas
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Anthony Shaw
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Desde $$ e^{-x^2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-x^2)^k}{k!} $$ llegamos por la integración que $$ \int_0^te^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{t^{2k+1}}{(2k+1)k!} $$ Por lo tanto, $$ \int_0^1e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)k!} $$ que converge muy rápidamente.
Poder Unilateral De La Serie
Un poco más complicado, sin embargo, produciendo un no-alterna de la serie, se nota que si definimos $$ f(x)=e^{x^2}\int_0^xe^{-t^2}\,\mathrm{d}t $$ A continuación, $f'(x)=1+2xf(x)$ y $$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k $$ rendimientos $2a_{k-1}=(k+1)a_{k+1}$. El uso de $f(0)=0$ $f'(0)=1$ da $a_{2k+1}=\dfrac{2^k}{(2k+1)!!}$. Por lo tanto, $$ \int_0^xe^{-t^2}\,\mathrm{d}t=e^{-x^2}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^kx^{2k+1}}{(2k+1)!!} $$ Por lo tanto, $$ \int_0^1e^{-t^2}\,\mathrm{d}t=e^{-1}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{(2k+1)!!} $$
hakan
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$\mathrm{erf}(z)$ es la "función de error" ha encontrado en la integración de la distribución normal (que es una forma normalizada de la función de Gauss). Es toda una función definida por $$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-t^2}\mathrm{dt}$$ Tenga en cuenta que algunos autores (por ejemplo, Whittaker y Watson, 1990, pág. 341) definen $\mathrm{erf}(z)$ sin el factor principal de $2/\sqrt{\pi}$.
Su pregunta la solución es $$\int_{0}^{1}e^{-r^2}\mathrm{dr}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(1)$$
Usted puede obtener el valor aproximado mediante el uso de la serie $$\mathrm{erf}(x)=\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!!}$$
Espero que esta ayuda.
Añadido. valor aproximado de $\mathrm{erf}(1)$ con 20 dígitos es
$\mathrm{erf}(1)\approx0.84270079294971486934$.
por lo que el valor es
$$\int_{0}^{1}e^{-r^2}\mathrm{dr}\approx0.74682413281242702540$$
