(I). Muchas preguntas se responden fácilmente con lo siguiente: Sea $J$ sea un intervalo (acotado o no) de $\mathbb R.$ Dejemos que $f:J\to \mathbb R$ con $f''(x)<0$ para todos $x\in J.$ Entonces, cuando $w_1,...,w_n$ son no negativos con $\sum_{i=1}^nw_i=1,$ y $x_1,...,x_n \in J$ entonces $$(*)\quad f\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)\geq \sum_{i=1}^nw_if(x_i)$$ con igualdad si $x_i=x_j$ siempre que $w_i\ne 0\ne w_j.$
Ejemplo: $J=(0,\infty)$ y $f(x)=\ln x.$ Entonces $\log (\sum_{i=1}^nw_ix_i)\geq \sum_{i=1}^nw_i\log x_i,\;$ lo que equivale a $\sum_{i=1}^n w_ix_i\geq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i}.$
En particular, cuando $w_i=1/n$ para cada $n$ tenemos $(\sum_{i=1}^nx_i)/n\geq (\prod_{i=1}^nx_i)^n,$ que es la desigualdad de la AGM.
Si, en cambio, tenemos $f''(x)>0$ para todos $x\in J$ entonces la desigualdad en (*) se invierte. Un ejemplo Q que estaba en este sitio este mes (mayo de 2017) era minimizar $\sum_{i=1}^nix_i^2\;$ dado que $\sum_{i=1}^nix_i=1,$ para $x_1,...x_i\in \mathbb R.$ Con $f(x)=x^2$ y $J=\mathbb R,$ dejar $w_i=i/((n^2+n)/2)$ para cada $i$ y la respuesta se obtiene inmediatamente.
(II). Sobre un tema diferente tenemos : Sea $x\in \mathbb R.$ Si para cada $r>0$ existe $a,b\in \mathbb Z$ tal que $0<|x-\frac {a}{b}|<\frac {r}{|b|}$ entonces $x\not \in \mathbb Q.$
PRUEBA: Si $x=c/d$ con $c,d\in \mathbb Z$ entonces para $a,b \in \mathbb Z$ tenemos $$0<|x-\frac {a}{b}|\iff 0<|cb-ad| \iff 1\leq |cb-ad| \iff$$ $$\iff \frac {1/|d|}{|b|}\leq |\frac {c}{d}-\frac {a}{b}|=|x-\frac {a}{b}|$$ por lo que no podemos tener $0<|x-\frac {a}{b}|<\frac {r}{|b|}$ a menos que $r\geq \frac {1}{|d|}.$
Obsérvese cómo la desigualdad $0<|cb-ad|$ fortalece a $1\leq |cb-ad|$ porque $cb-ad\in \mathbb Z.$
