Una pregunta acerca de la continuidad uniforme

Question

Deje $F$ ser una función continua en el real set $\mathbb R$ de manera tal que la función de $x \mapsto xF(x)$ es uniformemente continua en a $\mathbb R$ . Demostrar que $F$ también es uniformemente continua en a $\mathbb R$ .

Answer 1

Algunos consejos:

• Demostrar que no existe $A,B>0$ tal que para todo número real $x$, $|xF(x)|\leq A|x|+B$. En particular, $F$ es acotado, dicen por $M$.

• Escribimos para $x\geq 0$, $$|F(x)-F(y)|\leq \frac 1x|xF(x)-yF(y)|+\frac 1x|F(y)|\cdot |x-y|.$$ Así que si $|x|\geq 1$, tenemos $$|F(x)-F(y)|\leq |xF(x)-yF(y)|+M\cdot |x-y|.$$

• Conclusión, el uso de uniforme de la continuidad de la $F$$[-2,2]$.