OP, creo que el director de orquesta que aparece en tu comentario está equivocado. SAGE dice que el conductor de $E^{19}$ es $2^4 \cdot 19^2 \cdot 53$ .
Lo que David escribió es cierto en el caso $d \equiv 1$ mod $4$ es decir, para $d=-19$ en lugar de $19$ . Puedes imaginar el giro por $19$ como un giro de $-19$ entonces por $-1$ .
$2$ aparece en el conductor debido a la torsión por $-1$ .
Creo que esta pregunta reciente es reutilizable aquí: escribir el discriminante mínimo de una curva elíptica
Parece que para $p \ge 5$ el giro por $\tilde{p} = \left( \frac{-1}{p} \right)p$ (que siempre es de la forma $4k+1$ ) disminuye el discriminante si y sólo si $p^6| \Delta$ y $p| c_4$ .
Si $E$ tiene una reducción multiplicativa en $p$ entonces $E^{\tilde{p}}$ tendrá una reducción aditiva potencialmente multiplicativa por lo que el exponente de $p$ en el conductor cambiará de $1$ a $2$ . Y si $E$ tenía una reducción aditiva y potencialmente multiplicativa en $p$ el exponente cambiará de $2$ a $1$ .
Si $E$ tiene potencialmente una buena reducción aditiva en $p$ entonces el exponente de $p$ en el conductor puede permanecer $2$ o disminuir a $0$ . En este último caso, el discriminante también disminuye y tenemos $p^6 | \Delta$ y $p|c_4$ . Pero hay ejemplos en los que el discriminante disminuye pero el conductor no, por ejemplo, Cremona 121A2 tiene $-11$ -twist 121C1 donde el discriminante cambia de $-1 \cdot 11^{10}$ a $-1 \cdot 11^4$ pero el conductor sigue siendo el mismo. (Véase, por ejemplo http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/121.c2 y http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/121.a1 )