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Relación entre el conductor de una curva elíptica

Consideremos una curva elíptica $E: y^{2} = x^{3} + ax + b$ . Entonces el giro cuadrático por un cuadrado libre $d$ viene dada por $E^{d} : dy^{2} = x^{3} + ax + b$ . ¿Cuál es la relación entre el conductor de $E^{d}$ y $E$ ?

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ajma Puntos 123

No dice qué campo $E$ es más es $\mathbb{Q}$ ? Supongo que esto es lo que querías decir.

Dejemos que $\Delta$ sea el discriminante de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ , que es $|d|$ o $4|d|$ dependiendo de si $d$ es 1 o $\ne 1$ mod 4. Entonces, si $\Delta$ es coprima del conductor $N$ de $E$ el conductor de $E^{(d)}$ es $\Delta^2 N$ . Pero si $\Delta$ no es coprima de $N$ no hay una fórmula sencilla -- ¡el conductor puede ir tanto hacia abajo como hacia arriba, como se puede ver al girar por el mismo personaje dos veces!

(Editado para corregir el estúpido error de la primera versión, y editado de nuevo dos años después para corregir otro estúpido error en la segunda versión)

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Ah, sí, lo siento, estaba trabajando sobre $\mathbb{Q}$ . Pero, ¿es esto correcto? Por ejemplo, $E: y^{2} = x^{3} + 5x + 22$ tiene el conductor 53, pero un giro $E^{19}: y^{2} = x^{3} + 5\cdot 19^2 x + 22\cdot 19^3$ que tiene un conductor $2^{3}\cdot 17\cdot 19^{2} \cdot 31$ .

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Para que conste: No estoy de acuerdo con su cálculo del conductor de $E^{19}$ ; consigo que su director de orquesta sea $2^4 \cdot 19^2 \cdot 53$ lo que es coherente con lo que he dicho anteriormente, ya que $\Delta = 2^2\cdot 19$ en este caso.

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¿Tiene alguna referencia de este resultado?

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user1579764 Puntos 36

OP, creo que el director de orquesta que aparece en tu comentario está equivocado. SAGE dice que el conductor de $E^{19}$ es $2^4 \cdot 19^2 \cdot 53$ .

Lo que David escribió es cierto en el caso $d \equiv 1$ mod $4$ es decir, para $d=-19$ en lugar de $19$ . Puedes imaginar el giro por $19$ como un giro de $-19$ entonces por $-1$ .

$2$ aparece en el conductor debido a la torsión por $-1$ .

Creo que esta pregunta reciente es reutilizable aquí: escribir el discriminante mínimo de una curva elíptica

Parece que para $p \ge 5$ el giro por $\tilde{p} = \left( \frac{-1}{p} \right)p$ (que siempre es de la forma $4k+1$ ) disminuye el discriminante si y sólo si $p^6| \Delta$ y $p| c_4$ .

Si $E$ tiene una reducción multiplicativa en $p$ entonces $E^{\tilde{p}}$ tendrá una reducción aditiva potencialmente multiplicativa por lo que el exponente de $p$ en el conductor cambiará de $1$ a $2$ . Y si $E$ tenía una reducción aditiva y potencialmente multiplicativa en $p$ el exponente cambiará de $2$ a $1$ .

Si $E$ tiene potencialmente una buena reducción aditiva en $p$ entonces el exponente de $p$ en el conductor puede permanecer $2$ o disminuir a $0$ . En este último caso, el discriminante también disminuye y tenemos $p^6 | \Delta$ y $p|c_4$ . Pero hay ejemplos en los que el discriminante disminuye pero el conductor no, por ejemplo, Cremona 121A2 tiene $-11$ -twist 121C1 donde el discriminante cambia de $-1 \cdot 11^{10}$ a $-1 \cdot 11^4$ pero el conductor sigue siendo el mismo. (Véase, por ejemplo http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/121.c2 y http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/121.a1 )

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