Explícito Kähler formas y Kähler cono de un punto de la voladura de $\mathbb{CP}^2$

Question

Estoy interesado en la comprensión de la Kähler cono de un punto de la voladura de $\mathbb{CP}^2$, también conocido como el primer Hirzebruch de la superficie. Vamos a llamar a este colector $\Sigma_1$, y llame a su Kähler de cono $\mathcal{P}$. $\mathcal{P}$ es un subconjunto de a $H^{1,1}(\Sigma_1) \cap H^2(\Sigma_1, \mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^2$.

La respuesta a este desbordamiento de la pregunta se describen $\mathcal{P}$ como sigue:

$$ \mathcal P \simeq \lbrace (a,b) \in \mathbb R^2 \mediados de los a > 0, \quad b > 0, \quad a > b \rbrace $$ donde $(a,b) \mapsto aH - bE$. Aquí $H$ es el divisor de un general hyperplane en $\mathbb P^2$, arrastrado de vuelta a la explosión, y $E$ es el divisor excepcional de la explosión.

Esto describe un cono en $\mathbb{R}^2$ que es la región entre los rayos generados por $(1,0)$ y el rayo generado por $(1,1)$.

Mi primera pregunta: ¿Estoy en lo correcto al asumir que realmente debería reemplazar a $H$ $E$ arriba con sus Poincaré doble cohomology clases en $H^{1,1}(\Sigma_1) \cap H^2(\Sigma_1, \mathbb{R})$? Si es así, puede ser explícito acerca de los cohomology clases (por ejemplo, escribir un diferencial de formar en ellos)?

Mi segunda pregunta: me gustaría escribir explícita Kähler métricas en $\Sigma_1$. También me gustaría entender el Kähler de cono de mejor. Se puede escribir explícita formas diferenciales (de preferencia que surgen de forma natural) en el cohomology clases correspondientes al resumen de vectores $(1,0)$ $(1,1)$ que generan el límite del cono? (Por ejemplo, si vemos a $\Sigma_1$ $\mathbb{P}^1$ paquete de más de $\mathbb{P}^1$ con el mapa a la base de $\pi: \Sigma_1 \to \mathbb{P}^1$, es el $\pi$-la retirada de un Kähler métrica en $\mathbb{P}^1$ relevante aquí?)

Tenga en cuenta que soy bastante nuevo en el complejo y la geometría algebraica; me siento más cómodo con la geometría de Riemann. Yo también estaría interesado en las referencias relacionadas a esta pregunta y/o dar una introducción a Kähler conos.

Answer 1

Es bastante estándar en geometría compleja para confundir a los ciclos y sus Poincaré duales. (Por supuesto, la intersección de los ciclos corresponde a la copa de los productos de su Poincaré duales.) La clave es que el Kähler forma $\omega$ $\Bbb P^n$ (a los que nos normalizar para generar $H^2(\Bbb P^n,\Bbb Z)$) corresponde a un hyperplane $\Bbb P^{n-1}$, linealmente incrustado. Esto se deduce porque la integral de $\omega$ sobre cualquier línea ( $\Bbb P^1\subset\Bbb P^n$ )$1$.

El otro ingrediente fundamental es que cualquier divisor $D$ (integral combinación lineal de hypersurfaces) en un pequeño complejo colector de $M$ corresponde a una línea de paquete de $L$, e $c_1(L)\in H^2(M,\Bbb Z)$ es de Poincaré doble a $D$. Esto puede ser trabajado de manera explícita con formas diferenciales (o corrientes); vea las páginas 141-143 de Griffiths-Harris.

Cuando colocamos encima de un punto en un compacto $n$-dimensiones complejo colector de $M$, obteniendo $\tilde M$, podemos añadir un generador de a $H^2(M,\Bbb Z)$ (pensando en el divisor excepcional $E\in H_{2n-2}(\tilde M,\Bbb Z)$). En general, la normal bundle $N(E,\tilde M)$ es el tautológica de la línea de paquete en la $E\cong \Bbb P^{n-1}$.

Para el caso de una superficie de $M$ ,$E\cdot E = -1$, ya que la auto-intersección de $E$ está dado por $\displaystyle\int_E c_1(N(E))=-\int_{\Bbb P^1}\omega=-1$ (donde $\omega$ es el Kähler forma de $\Bbb P^1$).

Ahora, de vuelta a su explícita problema. El pensamiento de $\Sigma_1$$\tilde{\Bbb P^2}$, podemos pensar de $H^2$ como ser generado por (la de Poincaré duales de) un genérico línea en $\Bbb P^2$ y el divisor excepcional $E$. Hay una natural proyección de $\pi\colon \tilde{\Bbb P^2}\to\Bbb P^2$ y podemos considerar $\omega_1 = \pi^*\omega$, el retroceso de la Kähler forma en $\Bbb P^2$. El pensamiento de $E$ como divisor en $\Sigma_1$, se obtiene una línea de paquete y un correspondiente Chern forma $\phi\in H^2_{dR}(\Sigma_1)$, y es natural definir $\omega_1-\phi$ como Kähler forma en $\Sigma_1$.

Por otro lado, también podemos pensar en de $\Sigma_1$, como usted sugiere, como una $\Bbb P^1$-paquete de más de una línea genérico $L\subset\Bbb P^2$ (por ejemplo, si estamos volando $[1,0,0]$, la procedencia en $\Bbb C^2\subset\Bbb P^2$, podemos tomar $L=\{z_0=0\}$ a ser la "línea en el infinito"). Entonces, naturalmente, obtener (véase, por ejemplo, Bott-Tu) dos generadores de la cohomology: el retroceso de la Kähler forma en $L$ y el Kähler formulario en una fibra $F$. El divisor excepcional $E\subset\tilde{\Bbb P^2}$ a menudo se interpretan como el "infinito sección" de esta $\Bbb P^1$-bundle y podemos ver que (pensando en la homología o cohomology) $E = L - F$: Desde $E\cdot F = 1$, $L\cdot L = L\cdot F = 1$, y $F\cdot F=0$, escribir $E = aL+bF$ y resolviendo, obtenemos $a=1=-b$. (Vea las páginas 514-520 de Griffiths-Harris para más sobre esto).