Teorema de Rolle y del Valor Medio.

Question

Estoy interesado en virtud de la cual la regularidad condición es Stokes teorema sigue siendo válido.

Para la concreción estoy interesado en el siguiente problema

Consideremos un dominio $\Omega$ $\mathbb{R}^{3}$ dada en coordenadas cilíndricas por $0\le z\le 1 $,$0\le \theta\le2\pi$,$0\le \rho\le b$.

Ahora vamos a $f\in H^{2}(\Omega)$.

Si aplicamos Stokes teorema para el dominio $\Omega_{\epsilon}$ $\mathbb{R}^{3}$ dada en coordenadas cilíndricas por $0\le z\le 1 $,$0\le \theta\le2\pi$,$\epsilon\le \rho\le b$ tenemos: \begin{equation} \int_{\Omega}\nabla\cdot \nabla fd\Omega=\int_{\partial\Omega_{\epsilon}}\frac{\partial f}{\partial x^{i}} n^{i} dS \end{equation} que está bien definido debido a que la traza teorema de garantía que $\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\in H^{1/2}$.

Ahora, en el caso de $\epsilon\rightarrow0$ el límite de la integral es: \begin{equation} \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{\partial\Omega_{\epsilon}}\frac{\partial f}{\partial x^{i}} n^{i} dS=\int\frac{\partial f}{\partial x^{i}}b d\theta dz-\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\epsilon d\theta dz \end{equation}

Si $f$ es suave, a continuación, el límite se desvanece. Sin embargo, en los bajos de la diferenciabilidad caso, tengo las siguientes preguntas:

En el límite de $\frac{\partial f}{\partial x^{i}}$ tiene que ser restringida a un codimension 2 dominio. ¿Qué puedo decir acerca de la regularidad de la traza en la codimension 2?

En el caso de $f$ tiene aún menor regularidad tal que la traza en el codimension 2 caso es negativa en un espacio de Sobolev,si el límite se consideran para ser funcional?

¿Qué es la menor la diferenciabilidad necesarios para Stokes teorema de celebrar?

Answer 1

Para simplificar la cuestión, vamos a deshacernos de un derivado considerando $V = \nabla f$. Ahora, ¿cuándo comienza el teorema de la divergencia:se

$$ \int_{\partial \Omega} V \cdot n \, dS = \int_\Omega \nabla \cdot V dx $$

Las condiciones en el dominio de la siguiente manera: Supongamos $\Omega$ a ser un almacén de dominio con un $C^1$ límite de: $\forall \xi \in \partial \Omega$ hay una bola de $B_r(\xi)$ $C^1$ diffeomorphism $$\psi: B_r(\xi) \to B_1(0)$$ tal que $\psi( \partial \Omega \cap B_r(\xi) ) \subset \{ x \in \mathbb{R}^n : x_n =0 \}$$\psi ( \Omega \cap B_r(\xi) ) \subset \{ x \in \mathbb{R}^n : x_n >0\}$. Observe que $\partial \Omega$ es un codimension 1 hipersuperficie.

Junto a las condiciones en el campo de vectores $V$$\Omega$, básicamente, nos necesite $V_i \in C^1(\bar{ \Omega} )$ por la derivada estar bien definida.

Un poco más débil, $\partial \Omega$ es sólo a trozos $C^1$($\partial \Omega$ es una unión finita de $C^1$ límites). Entonces podemos aproximar dentro de $\Omega$ tomando $V_i \in C^1( \Omega) \cap C ( \bar{\Omega} )$ y todavía se mantienen si el lado derecho converge.

Ahora tenemos nuestras condiciones, yo, básicamente, va a decir que ya lo tienes resuelto. Cualquiera de las $f$ es lo suficientemente bueno, o nos puede tratar como un funcional a través de un límite. Como un ejemplo, tomar una de las muchas aproximaciones de la función delta, como $f = \ln(r)$ $\mathbb{R}^2$

Para una referencia , eche un vistazo a Evan o McOwen del PDE Libro