Relación entre los radicales de Jacobson de un anillo y los de un cierto anillo cociente

Question

Sea $R$ sea un anillo $J(R)$ el radical Jacobson de $R$ que definimos para este problema como todos los ideales izquierdos máximos de $R.$ Estoy tratando de demostrar la siguiente proposición con sólo la definición (es decir, no utilizar nada acerca de los módulos simples ect)

Sea $I\subset J(R)$ sea un ideal de $R.$ Entonces $J(R/I)\cong J(R)/I.$

Intento: Desde $I\subset J(R)$ está contenido en todo ideal maximal y, por tanto, los ideales maximales de $R$ están en biyección con los ideales maximales de $R/I.$ A continuación, el mapa $\phi:J(R)\to J(R/I)$ dada por $x\mapsto x+I$ es un $R$ -módulo hom con núcleo $I.$ Así que $\phi(J(R))\cong J(R)/I.$ Pero estoy teniendo un tiempo difícil mostrar este mapa es onto. No veo una buena razón por la que cada $x\in J(R/I) = \bigcap( M_{k}/I)$ debe parecerse a $a + I$ donde $a\in J(R)$

Answer 1

El radical Jacobson de $R$ es la intersección de los ideales izquierdos máximos de $R$ .

Los ideales izquierdos máximos de $R/I$ si $I\subseteq J(R)$ son de la forma $K/I$ donde $K$ es un ideal izquierdo máximo de $R$ .

La intersección de las ideales izquierdas $K/I$ es exactamente $J(R)/I$ por el teorema de correspondencia que da una biyección que preserva el orden entre los submódulos de $R$ que contiene $I$ y los submódulos de $R/I$ .

Answer 2

Lema . Sea $\phi : R\to S$ sea un epimorfismo. Entonces $\phi (J(R))\subset J(S)$ :

prueba . Sea $x\in \phi (J(R))$ . por Atiyah-Macdonald, Proposición 1.9 tenemos que demostrar que para todo $s\in S$ , $1-sx$ es una unidad en $S$ . dejar $x= \phi (t)$ para algunos $t\in J(R)$ y $s=\phi (r)$ . tenemos $1-sx=\phi (1-rt)$ . tenga en cuenta que $1-rt$ tiene un inverso, digamos $u$ . Así que $\phi (u) (1-sx)=1$ .

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En este caso $S =R/I$ y $J(R)+I/I\subset J(R/I)$ .
Si $I\subset J(R)$ tenemos igualdad:
deje $x+I\in J(R/I)$ y $m$ un arbitraria ideal maximal de $R$ . debemos demostrar que $x\in m$ . tenga en cuenta que $I\subset m$ . así que $m/I$ es un ideal maximal de $R/I$ . por suposición $x+I\in m/I$ . por lo tanto $x\in m$ .