Una versión del bebé del lema casi ortogonalidad Stein-Cotlar

Question

El siguiente es un ejercicio de Stein y Shakarchi del Análisis Real.

Supongamos $\{T_k\}$ es una colección de operadores acotados en un espacio de Hilbert $H$, cada una con la norma en la mayoría de las $1$. Supongamos también que

$$T_kT^*_j = T^*_k T_j =0$$

para $k\neq j$. Deje $S_n(f)=\sum_{k=1}^n T_k(f)$. El problema pide mostrar que $\lim_{N\rightarrow \infty} S_n(f)$ converge para cada $f$, y que el el resultado del operador $S$ tiene la norma en la mayoría de las $1$.

Es el boceto escrito en el alerón cuadro de abajo correcta? Lo que más me preocupa de la construcción en la segunda y tercera frases. Cualquier alternativa slick soluciones también son bienvenidos.

Veamos primero el caso de un número limitado de operadores. Ya que los operadores tienen mutuamente ortogonales rangos, los cierres de sus rangos, también son mutuamente ortogonales. Esto nos permite descomponer el espacio en $B\oplus_1^n V_k$, donde el $V_k$ son los cierres de los rangos y el $B$ es lo que queda después de tomar la suma directa de todos los $V_k$. Deje $f=\sum v_k$ denotar la descomposición de una función de $f$ en estos espacios. Luego, recordando que los rangos son ortogonales, $\|S_n(f)\|\le \sum_1^n \|T_k(f)\|\le \sum |T_k (v_k)|\le \sum_1^n |v_k|\le |f|.$ Esto muestra la secuencia es absolutamente convergente, entonces es convergente, ya que estamos en un espacio. Inmediatamente también se muestra el límite es de un operador y que este operador tiene la norma en la mayoría de los 1.

Answer 1

• Hay un problema con $\sum_1^n \|T_k(f)\|\le \sum |T_k (v_k)|$: la descomposición $f=\sum v_k$ tiene que ver con los rangos de $T_k$, pero al conectar las cosas en $T_k$, es el dominio, no el rango, lo que importa.
• También un problema con las $\sum_1^n |v_k|\le |f|$: necesidades de plazas para hacer lo correcto.

Mi solución. En primer lugar, tenga en cuenta que no sólo se $T_k$, pero también sus adjoints $T_k^*$ han ortogonal rangos. Desde $(\ker T_k)^\perp $ es el cierre de $\operatorname{ran} T_k^* $ (ver más abajo), se deduce que los espacios de $(\ker T_k)^\perp $ son ortogonales. Deje $v_k$ ser la proyección ortogonal de a $v$ a $(\ker T_k)^\perp $. Observar que $T_kv=T_kv_k$, debido a $v-v_k\in\ker T_k$.

Ahora estamos listos para rodar: $$\Big\|\sum_k T_k(v)\Big\|^2 = \sum_k \|T_k v\|^2 = \sum_k \|T_k v_k\|^2 \le \sum_k \| v_k\|^2 \tag1$$ No puse los límites de la sumatoria en (1), porque debemos hacer dos cosas:

• suma más de la cola $M\le k\le N$ para asegurarse de que $\sum_{k=M}^N T_k(v)\to 0$$M,N\to \infty$;
• suma toda la cosa para estimar por $\|v\|^2$ y por lo tanto obtener la norma de obligado.

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La igualdad de $(\ker T)^\perp =\overline{\operatorname{ran} T^*}$ sigue de $\ker T = (\operatorname{ran} T^*)^\perp$. Esto último se demuestra así:

$$Tx=0 \iff \langle Tx,y\rangle=0 \ \ \forall y \iff \langle x,T^*y\rangle=0\ \ \forall y $$