Función característica de la distribución normal

Question

La distribución normal estándar $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}},$$ tiene la característica de la función $$\int_{-\infty}^\infty f(x) e^{itx} dx = e^{-\frac{t^2}{2}}$$ y esto puede ser demostrado por la obtención de los momentos.

Sin embargo, hay un método más directo de probar que la normal estándar ha expresado la función característica? Me quedé atrapado en el intento de mostrar que

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}(x-it)^2} dx= \sqrt{2\pi}.$$

Answer 1

Un simple cambio de variables permite calcular $\mathbb{E}[e^{tX}]$ real $t$ y normal estándar $X$, $$ \begin{align} \mathbb{E}[e^{tX}]&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac12x^2}e^{tx}\,dx\\ &= \frac{e^{\frac12t^2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac12(x-t)^2}\,dx\\ &=\frac{e^{\frac12t^2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac12y^2}\,dy\\ &=e^{\frac12t^2}. \end{align} $$ Aquí, la sustitución de $y=x-t$ ha sido utilizado. De hecho, esta identidad se mantiene para todas las complejas $t$ así por la continuación analítica. El lado derecho, $e^{\frac12t^2}$ es claramente analítica. El lado izquierdo es analítico, ya que tiene el derivado $\mathbb{E}[Xe^{tX}]$. El hecho de que usted puede conmutar la diferenciación y la expectativa se sigue del teorema de convergencia dominada. Dos funciones analíticas que ponerse de acuerdo sobre la línea real debe estar de acuerdo en todas partes (continuación analítica). De modo que la identidad tiene para todos los complejos de $t$, y la sustitución de $t$ $it$ da la expresión que usted pide.

Answer 2

En Fristedt y Gris de Un Enfoque Moderno a la Probabilidad, los autores boceto de una prueba. Uso integración por partes y convergencia dominada para mostrar que $\beta(t)=\int f(x) e^{itx} dx$ satisface la ecuación diferencial $\beta^\prime(t)=-t \beta(t)$$\beta(0)=1$. Usted tiene que justificar la manipulación de las integrales de $\mathbb{C}$valores de las funciones.