Espacios normales no metrizables

Question

Sabemos que todo espacio métrico es normal. Sabemos también que un espacio normal, segundo contable, es metrizable.

¿Cuál es un ejemplo de espacio normal no metrizable?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Editer : A la luz de los comentarios, me ha parecido prudente dar la definición precisa de normalidad utilizada en la referencia. Para la lista que he proporcionado, a normal espacio $X$ es uno satisfactorio:

• Propiedad T1: Para todo $x,y \in X$ existen conjuntos abiertos $U_x$ y $U_y$ que contiene $x$ y $y$ respectivamente, de forma que $x \notin U_y$ y $y \notin U_x$ .
• Si $A$ y $B$ son conjuntos cerrados disjuntos en $X$ existen conjuntos abiertos disjuntos $U_A$ y $U_B$ que contiene $A$ y $B$ respectivamente.

---

Los siguientes ejemplos de espacios normales no metrizables proceden de $\pi$ -Base que es una base de datos con función de búsqueda inspirada en la de Steen y Seebach _Contraejemplos en topología_ . Puede obtener más información sobre cada espacio visitando la página resultado de la búsqueda .

Plaza Alexandroff

Espacio Appert

Espacio Arens-Fort

Métrica del producto de Baire en $\mathbb{R}^\omega$

Espacio de extensión discreta de Bing

Topología del producto booleano en $\mathbb{R}^\omega$

Espacio ordinal cerrado $[0,\Omega]$

Círculos concéntricos

Topología de puntos excluidos contables

Topología entera eliminada

Topología del divisor

Topología Either-Or

Topología de puntos excluidos finitos

Espacio Fortissimo

Espacio Helly

Topología Hjalmar Ekdal

$I^I$

Ordenación lexicográfica en el cuadrado unitario

Subespacio cerrado de Michael

Topología de intervalos anidados

Topología impar-Even

Topología de compactación en un punto

Lindeloficación de un punto de $\omega_1$

Espacio ordinal abierto $[0,\Omega)$

Topología de intervalos radiales

Topología de intervalo medio abierto a la derecha

Topología de orden correcto en $\mathbb{R}$

Espacio Dowker de Rudin

Espacio Sierpinski

Topología de ultrafiltro simple

Compactación de los números enteros Stone-Cech

La larga cola extendida

La escoba de los números enteros

La larga cola

Tablón Tychonoff

Topología de puntos excluidos incontables

Espacio Fort incontable

Answer 2

En lugar de enumerar espacios concretos, he pensado en mencionar algunas clases de espacios.

Un espacio métrico compacto tiene cardinalidad como máximo $2^\omega$ por lo que todo espacio Hausdorff compacto de cardinalidad mayor que $2^\omega$ es normal y no metrizable. En particular, esto incluye todo producto de espacios Hausdorff compactos con al menos $2^\omega$ factores no triviales.

Sea $I$ sea un conjunto de índices, para cada $i\in I$ deje $X_i$ sea un espacio con al menos dos puntos, y para cada $i\in I$ deje $p_i\in X_i$ . Sea $$X=\left\{x\in\prod_{i\in I}X_i:|\{i\in I:x_i\ne p_i\}|\le\omega\right\}$$ como subespacio del producto de Tikhonov del $X_i$ Estos espacios se denominan $\Sigma$ -productos. Si $I$ es contable, el $\Sigma$ -es simplemente el producto Tikhonov ordinario, pero si $I$ es incontable es algo nuevo.

Proposición: Si $I$ es incontable y cada $X_i$ es $T_1$ , $X$ no es paracompacta (y, por tanto, no es metrizable).

Prueba: Sea $I_0=\{i_\xi:\xi<\omega_1\}$ sea un subconjunto de $I$ de cardinalidad $\omega_1$ y para cada $\xi<\omega_1$ fije $q_{i_\xi}\in X_{i_\xi}\setminus\{p_{i_\xi}\}$ . Para $\eta<\omega_1$ defina $x^\eta\in X$ por $$x^\eta_i=\begin{cases}q_{i_\xi},&\text{if }i=i_\xi\text{ and }\xi<\eta\\p_i,&\text{otherwise}\;.\end{cases}$$ No es difícil comprobar que $\{x^\eta:\eta<\omega_1\}$ es un subespacio cerrado de $X$ homeomorfo de $\omega_1$ (con la topología de orden), que no es paracompacta. $\dashv$

Sin embargo, es un teorema de Mary Ellen Rudin e, independientemente, de S.P. Gul'ko que $\Sigma$ -productos de espacios métricos son siempre normales. (La demostración es muy poco trivial y puede encontrarse en Teodor C. Przymusinski, Productos de espacios normales en el Manual de topología teórica de conjuntos K. Kunen & J.E. Vaughan, eds., donde el resultado es el teorema 7.4). Por lo tanto, cada $\Sigma$ -producto de espacios métricos no triviales es un ejemplo de espacio normal no metrizable.

Es bien sabido que todo espacio linealmente ordenado [LOTS] es hereditariamente normal. Esto significa que todo espacio ordenado generalizado [GO] es hereditariamente normal, ya que los espacios GO son precisamente los subespacios de los espacios linealmente ordenados. (La definición real de un espacio GO es que es un espacio $X$ equipado con un orden lineal $\le$ cuya topología tiene una base formada por $\le$ -intervalos, no necesariamente abiertos, pero esto equivale a ser un subespacio de un LOTS. Un ejemplo es la línea Sorgenfrey).

Así, cualquier espacio GO no metrizable es un ejemplo. La forma más directa de que un espacio GO no sea metrizable es tener un punto con carácter incontable, es decir, un punto que no tenga una base local contable; esto incluye automáticamente todos los espacios ordinales $\alpha$ para $\alpha>\omega_1$ y muchos de sus subespacios. Por supuesto, ésta no es ni mucho menos la única manera. La línea de Sorgenfrey, por ejemplo, es contable en primer lugar, pero no es metrizable por varias razones: es separable y Lindelöf, pero no contable en segundo lugar, y su cuadrado no es normal ni Lindelöf. Es bastante fácil encontrar todo tipo de variaciones sobre este tema.