Integrar y medir el problema.

Question

Si $f \in L^{p_0}(X,M,\,u)$ algunos $0<p_0 \le\infty$, luego $$1. \lim_{p\to0}\int_X |f|^p \, d\mu=\mu(\{x \in X \mid f(x) \ne0\}).$$

Y si asumimos $\mu(X)=1$,

a continuación, quiero demostrar que $f \in L^p(X,M,\,u)$ algunos $0<p \le p_0$, y la ecuación de abajo. $$2. \lim_{p\to0}\|f\|_p=e^{\int_X\log|f|\,d\mu}$$

Quiero saber cómo puedo concluir de los resultados. En primer lugar, estoy tratando de utilizar integrar sobre el conjunto en el que $0<|f(x)|\le1$ y el uso de MCT. y el conjunto en el que $|f(x)|>1$ el uso de la LDCT para demostrar que. Pero yo no puedo concluir para medir el $\mu$ y ¿cómo puedo abordar segundo hecho?

Answer 1

Para la segunda ecuación: en primer lugar asumir que $f$ no desaparecen en un conjunto de medida positiva. Tenemos

$$\log\|f\|_p = \frac{1}{p} \log(\int_X |f|^p d\mu) .$$

Aplicamos la regla de L'hospital para tomar el límite de $p\rightarrow 0$. Desde $|f|^p \log |f|$ está delimitado por una constante o $|f|^{p_0}$ pequeña $p$, podemos diferenciar bajo el signo integral para obtener

$$\frac{d}{dp} \log(\int_X |f|^p d\mu) = \frac{\int_X \log |f| * |f|^p d\mu}{\int_X |f|^p d\mu}.$$

Por supuesto, la derivada del denominador $p$ está a sólo 1. Por lo tanto

$$\lim_{p\rightarrow 0} \log\|f\|_p = \lim_{p\rightarrow 0}\frac{\int_X \log |f| * |f|^p d\mu}{\int_X |f|^p d\mu} = \frac{\int_X \log |f| d\mu}{\int_X 1 d\mu} = \int_X \log |f| d\mu ,$$

dominado por la convergencia. De ello se sigue que

$$\lim_{p\rightarrow 0} \|f\|_p = e^{\int_X \log |f| d\mu } .$$

Si $f = 0$ sobre un conjunto $E$ de medida positiva, luego por H\'la edad de la desigualdad (con $p_0^* = p_0/(1-p_0)$),

$$\int_X |f|^p d\mu = \int_X \chi_{E^c} |f|^p d\mu \leq \||f|^p\|_{p_0} \|\chi_{E^c}\|_{p_0^*} = (\int_X |f|^{p p_0})^{1/p_0} \mu(E^c)^{1/p_0^*}.$$

Por lo tanto,

$$\|f\|_p \leq \|f\|_{p p_0} \mu(E^c)^{1/pp_0^*}.$$

El primer término aquí está delimitado por pequeño $p$ y el segundo tiende a 0 $p\rightarrow 0$ desde $\mu(E^c) < 1$. Por lo tanto $\|f\|_p \rightarrow 0$, lo que equivale a $e^{\int_X \log |f| d\mu}$ si interpretamos $e^{-\infty}$ 0.

Answer 2

$1$. Definir $$ \begin{align} E^>&=\{x\in X:|f(x)|\ge1\}\\ E^<&=\{x\in X:0<|f(x)|<1\}\\ E^=&=\{x\in X:|f(x)|=0\} \end{align}\etiqueta{1a} $$

En $E^>$, $|f(x)|^p$ disminuye a $1$ $p$ disminuye a $0$; en $E^<$, $|f(x)|^p$ aumenta a $1$ $p$ disminuye a $0$; y en $E^=$, $|f(x)|=0$ como $p$ disminuye a $0$.

Por lo tanto, por la monotonía de convergencia en $E^<$ y dominado convergencia en $E^>$, $$ \begin{align} \lim_{p\to0^+}\int_{E^>}|f(x)|^p\,\mathrm{d}x&=\mu(E^>)\\ \lim_{p\to0^+}\int_{E^<}|f(x)|^p\,\mathrm{d}x&=\mu(E^<)\\ \lim_{p\to0^+}\int_{E^=}|f(x)|^p\,\mathrm{d}x&=0 \end{align}\etiqueta{1b} $$ Sumando los rendimientos $$ \lim_{p\to0^+}\int_X|f(x)|^p\,\mathrm{d}x=\mu(\{x\in X:|f(x)|\no=0\})\etiqueta{1c} $$

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$2$. Preliminares

Para$p\gt0$$t\ge0$, definir $$ g_p(t)=\frac{t^p-1}{p}\etiqueta{2a} $$ Reclamo: $g_p(t)$ es no decreciente en ambos $p$$t$.

$g_p(t)$ es no decreciente en $t$: Esto se deduce de la $$ g_p^\prime(t)=t^{p-1}\ge0\etiqueta{2b} $$

$g_p(t)$ es no decreciente en $p$: Como Didier comentado, esto se desprende de $$ g_p(t)=\int_1^tu^{p-1}\,\mathrm{d}u\etiqueta{2c} $$ y debido a que $u^{p-1}$ es no decreciente en $p$ al $u\ge1$ y no creciente en $p$ al $0\le u\le1$.

Además, L'Hôpital dice $$ \lim_{p\to0^+}g_p(t)=\log(t)\etiqueta{2d} $$

$\hspace{1pt}$

La Desigualdad de Jensen dice que $h(p)=\|f\|_p$ es no decreciente en $p$.

$\hspace{1pt}$

Considere la posibilidad de una $\epsilon$ barrio de $-\infty$ $(-\infty,-\frac1\epsilon)$ y deje $L=\lim\limits_{p\to0^+}\log(h(p))$.

Para cualquier $\epsilon>0$, elija $q>0$, de modo que $\log(h(q))$ está dentro de un $\frac{\epsilon}{2}$ barrio de $L$.

Elija $r>0$, de modo que $g_r(h(q))$ está dentro de un $\epsilon$ barrio de $L$.

Si $p<\min(q,r)$, $\log(h(p))$ $g_p(h(p))$ será dentro de un $\epsilon$ barrio de $L$. Por lo tanto, $$ \lim_{p\to0^+}\log(h(p))=\lim_{p\to0^+}g_p(h(p))\etiqueta{2e} $$

Principal Resultado

Definir $E=\{x:|f(x)|>1\}$, por encima de los resultados de rendimiento $$ \begin{align} \lim_{p\to0^+}\log\left(\|f\|_p\right) &=\lim_{p\to0^+}\frac{\|f\|_p^p-1}{p}\\ &=\lim_{p\to0^+}\int_X\frac{|f(x)|^p-1}{p}\,\mathrm{d}x\\ &=\color{#C00000}{\lim_{p\to0^+}\int_{E}\frac{|f(x)|^p-1}{p}\,\mathrm{d}x} +\color{#00A000}{\lim_{p\to0^+}\int_{X\setminus E}\frac{|f(x)|^p-1}{p}\,\mathrm{d}x}\\ &=\color{#C00000}{\int_{E}\log|f(x)|\,\mathrm{d}x} +\color{#00A000}{\int_{X\setminus E}\log|f(x)|\,\mathrm{d}x}\\ &=\int_{X}\log|f(x)|\,\mathrm{d}x\tag{2f} \end{align} $$ El límite de izquierda, en rojo, es Dominado por la Convergencia, mientras que el derecho de limitar, en verde, es por la Monotonía de Convergencia. Exponentiate para obtener $$ \lim_{p\to0^+}\|f\|_p=e^{\int_{X}\log|f(x)|\,\mathrm{d}x}\etiqueta{2g} $$