Una superposición es la siguiente: $$ \vert\psi\vert = \alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle. $$
Cuando medimos un qubit obtenemos como resultado 0, con probabilidad $\vert \alpha\vert^{2},$ o el resultado 1, con probabilidad $\vert \beta\vert^{2}.$ Blockquote
¿Por qué $\alpha$ tiene el exponente $2$?
Dependiendo de cómo esté configurando sus estados cuánticos, generalmente se toma como un axioma del sistema que si un estado $|\psi\rangle$ es una superposición lineal de estados propios $\{ |e_n\rangle \}$ de algún observable donde
$$|\psi\rangle = \sum_n \alpha_n |e_i\rangle \ , \ \alpha_n \in \mathbb C \text{ y los coeficientes están normalizados: } \sum_n |\alpha_n|^2 = 1$$
entonces cuando hacemos una medición con respecto a ese observable, el estado se observa en el estado $|e_i\rangle$ con probabilidad $|\alpha_i|^2$. Sea cual sea la probabilidad, no puede ser $\alpha_i$, ya que es un número complejo. $|\alpha_i|$ es una elección posible. Pero resultará que las matemáticas y la física del modelo son mucho más fructíferas si decimos que la probabilidad es $|\alpha_i|^2$.
En otras palabras, es un modelo que ha hecho una elección arbitraria sobre cómo interpretarlo y usarlo. Y resulta ser un modelo muy exitoso.
(Para convencerse de ese último punto, ¡siga usando el modelo en su curso u otro lugar!)
La conveniencia matemática es una ventaja: la maquinaria del espacio de Hilbert está bien establecida para tratar con formas cuadráticas. Pero la principal ventaja es que parece describir la realidad, en el sentido de que concuerda bastante bien con los resultados de experimentos.
La razón por la que se utilizan amplitudes, que se elevan al cuadrado para obtener probabilidades, en lugar de usar las probabilidades en sí, es que te permite tener los mismos valores de probabilidad con diferentes fases.
Así es como podemos tener que ambos de estos vectores de amplitud representen un 50% de posibilidad de un qubit sea verdadero o falso: $$1/\sqrt{2}(|0\rangle+|1\rangle)$$ $$1/\sqrt{2}(|0\rangle-|1\rangle)$$
Lo cual se escribe de esta manera cuando no se utiliza la notación ket:
$$[1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}]$$ $$[1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2}]$$
Por qué es importante es porque nos permite cambiar la fase sin afectar la probabilidad. Cuando combinamos valores, dependiendo de la fase, estos se sumarán o se cancelarán entre sí.
Aquí se suman: $$[1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}] + [1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}] = [\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$
Y aquí se cancelan: $$[1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}] + [1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2}] = [\sqrt{2}, 0]$$
Esto permite que ocurra la interferencia destructiva, que es observable en el mundo real con experimentación, pero también es una de las cosas que hace poderosa a la computación cuántica.
Lo siento! Pero entonces $(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 \neq 1$, por lo que tu respuesta no está funcionando y también ¿qué quieres decir exactamente con agregar dos qubits?
Tienes razón en que los ejemplos que mostré de añadir cubit no dan como resultado un vector normalizado. El punto era simplemente mostrar la interferencia destructiva y constructiva. Si quieres un mejor ejemplo, pasa el vector $1/\sqrt{2}(|0\rangle+|1\rangle)$ a través de una compuerta de Hadamard, y luego pasa el vector $1/\sqrt{2}(|0\rangle-|1\rangle)$ a través y observa la diferencia. La compuerta de Hadamard es la matriz: $$1/\sqrt{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$
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