Sheafification de singular cochains

Question

Deje $S^k$ ser la presheaf en un espacio de $X$ que asigna a cada conjunto abierto $U$ el grupo abelian $S^k(U)$ de singular k - cochains en $U$. Evidentemente, esto no es una gavilla. Considerar la sheafification $F^k$$S^k$. Estas poleas forma de una resolución exacto de la constante de la gavilla de los números enteros.

Podemos tomar global de las secciones de esta gavilla de resolución para obtener una cochain compleja $F^*(X)$. ¿El cohomology de este cochain complejo coincide con lo ordinario singular cohomology?

Answer 1

Usted no ha dicho explícitamente, pero su reclamo es que la gavilla cohomology de la constante gavilla $\Bbb Z_X$ es isomorfo a la singular cohomology de $X$: $$H^\ast(X, \Bbb Z_X) \cong H^\ast_{\text{sing}}(X; \Bbb Z).$$ Esto es cierto para $X$ locales contráctiles. Se verifica que los complejos de $S^\ast(X)$ $\Gamma(X, S^\ast(X))$ son cuasi-isomorfos. De manera más general, la afirmación se cumple para cualquier grupo abelian $G$: $$H^\ast(X, G_X) \cong H^\ast_{\text{sing}}(X; G)$$ al $X$ es localmente contráctiles.

No tengo ninguna referencias a la mano, pero yo esperaría que usted podría encontrar la prueba en la mayoría de los libros que introducen el concepto de la gavilla cohomology.