Es $\mathbb{Q}^2$ homeomorfo a $\mathbb{Q}^2\setminus \{0\}$ ?

Question

Sé que $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ no son homeomórficos. (Por ejemplo $\pi_1(\mathbb{R}^2)=\{e\}$ mais $\pi_1(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\})=\mathbb{Z}$ ).

Pero qué se puede decir de $\mathbb{Q}^2$ y $\mathbb{Q}^2\setminus\{(0,0)\}$ ? ¿Existe un homeomorfismo?

Answer 1

Los números racionales son el único espacio métrico (hasta el isomorfismo) que es contable y no tiene puntos aislados.

$\Bbb Q^2\setminus\{(0,0)\}$ es contable y sin puntos aislados. Por lo tanto, la respuesta es sí. Existe un homeomorfismo.