Deje $G$ ser un grupo, si $H=\{b\in G\ |\ bab^{-1} \in \langle a \rangle\}$ H un subgrupo de G?

Question

He visto esta pregunta en torno al $G\wedge\langle a \rangle$ son finitos, pero lo que si $G$ es infinito y $\langle a \rangle$ es finito?

Mi planteamiento:

1. Espectáculo $H$ es cerrado, que sólo sigue a partir de la ciclicidad de $\langle a \rangle$.

2. En el caso de que $G$ es infinito también tengo que mostrar que $\forall b \in H,\ b^{-1} \in H$.

No puedo entender cómo mostrar la condición 2. Tenía la esperanza de que alguno podría ayudarme

Answer 1

Para $b\in H$, ya que el $c=bab^{-1}$ tiene el mismo oder con $a$, es un generador de $\langle a\rangle$. Es decir, $a=c^k$ algunos $k$. Así $$b^{-1}ab=b^{-1}c^kb=b^{-1}(bab^{-1})^kb=a^k.$$ Por lo $b^{-1}\in H$.

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Nota: el argumento puede ser revertido. Si $b,b^{-1}\in H$, luego $$b^{-1}ab=a^k=b^{-1}c^kb.$$ Por lo $a=c^k$, e $c$ es un generador de $\langle a\rangle$.

En el caso de $a$ tiene una infinidad de orden, lo que implica que $c=a$ o $c=a^{-1}$. Así que en general, $H$ no es un subgrupo si $a$ tiene orden infinito.