Hay un algoritmo rápido para comprobar AR(p) estacionariedad?

Question

Es bien sabido que un AR(p) proceso de $$ x_t=\sum_{i=1}^p \varrho_i x_{t-i} + \epsilon_t \,, $$ es causal y estacionario si y sólo si las raíces del polinomio $$ \mathcal{P}(u) = 1 - \sum_{i=1}^p \varrho_i u^i $$ están todos fuera del círculo unidad en el plano complejo. (Aquí hay una Cruz Validado discusión en el tema).

Mi pregunta es si existe o no un algoritmo más rápido que el ingenuo que consiste en (a) encontrar las raíces de $\mathcal{P}$ y (b) la comprobación de que ninguno uno de ellos está dentro del círculo unidad.

Answer 1

Es necesario encontrar el $p$ raíces complejas, tan lejos como estos no son para ser utilizado por sí mismos. Por otra parte, la mayoría (si no todos) búsqueda de raíces procesos pueden fallar por un gran $p$.

Otra solución es la siguiente. El $\mathrm{AR}(p)$ modelo puede ser reparametrised gracias a su $p$ autocorrelaciones parciales (PACs) $\zeta_k$$1 \le k \le p$. El PACs son a menudo denotado como $\phi_{k,k}$ debido a que sus el cálculo consiste en una matriz de $\phi_{k,\ell}$. Hay un uno-a-uno la correspondencia entre el vector $\boldsymbol{\rho}$ de la $p$ los coeficientes en la estacionalidad de la región y el vector $\boldsymbol{\zeta}$ en la región definida por la $p$ condiciones $|\zeta_k | < 1$ $1 \le k \le p$ . La transformación de "AR a PAC" $\boldsymbol{\rho} \mapsto \boldsymbol{\zeta}$ es bastante simple y es dada como una bonita fórmula de recursión debido a Barndorff-Nielsen y Schou. Las pruebas de estacionariedad en el vector de coeficientes de forúnculos hacia abajo para calcular el $\zeta_k$ y parada tan pronto como una condición $| \zeta_k | \ge 1$ se encuentra. La menos conocida inversa transformar "PAC AR" $\boldsymbol{\zeta} \mapsto \boldsymbol{\rho}$ está disponible de forma explícita (debido a Monahan), y es tan simple como es el directo. También podría ser útil en algunos casos.

Las dos transformaciones son implementadas (en R) en un CRAN paquete de R llamado FitAR que proporciona, así como de una eficiente invertibleQ función a prueba de estacionariedad. El paquete es se describe en el siguiente artículo, donde la lista de referencias es proporcionado.

McLeod, R. I. y Zhang Y., "mejorar el Subconjunto de Autorregresión: Con el Paquete de R" Journal of Statistical Software, vol. 28, Número 2, Octubre De 2008. http://www.jstatsoft.org/v28/i02

Answer 2

El Schur-Cohn algoritmo ha $d=2$; esto es lo que he aprendido en una estadística computacional clase en Berkeley hace algunos años.