Derivado de área da media curvatura?

Question

Mi profesor hizo un comentario el día de hoy acerca de cómo 'la derivada de la zona le da la curvatura media', pero no estoy muy seguro de a qué se refería?

Supongo que lo que quiero decir es que no entiendo esta definición:

"Una superficie $M \in R^3$ es minimal si y sólo si es un punto crítico de la zona funcional para todos compacta compatible con variaciones"

Entiendo que un punto crítico es un punto fijo (es decir, d/dt=0) y que si H=0 una superficie es mínima. Eso es todo lo que entendemos en la actualidad en esta definición.

Si alguien pudiera explicar esto simplemente (como es posible), lo agradecería muchísimo!

Answer 1

Primero recordemos que el área de $A$ de una parametrización regular de la superficie de la $S$ dado por la parametrización de la $f \colon U \to \mathbb{R}^3$ es la integral $$A = \int_U d S$$ donde $d S$ es la superficie de la forma de volumen, conocido también como el elemento de superficie. Por supuesto, $U \subseteq \mathbb{R}^2$. Un estándar es un hecho que el área no depende de la parametrización, por lo que podemos pensar acerca de la zona en una unparametrized superficie, si queremos.

Para hablar de la derivada de $A$ usted necesita tener un liso de la familia de (parametrización regular) las superficies de $f^t \colon U \to \mathbb{R}^3$ tal que $f^0 = f$, e $t \in (-\varepsilon,\varepsilon)$. Una familia $S^t$ se llama una variación de $S$. En este caso tenemos una función $A \colon (-\varepsilon,\varepsilon) \to \mathbb{R}$.

Por tanto, la pregunta es ¿cuál de los siguientes derivada sería: $$\tfrac{d}{d t}^t = \tfrac{d}{d t} \int_U d S^t = \int_U \tfrac{d}{d t} d S^t$$

El volumen de las formas $d S^t$ son cantidades que están bien definidos en cada punto de $S$, equivalente a cada una de las $u \in U$, y por lo tanto el intercambio de los operadores en la segunda igualdad de la última pantalla tiene sentido.

Ahora, cada punto de $p = f(u)$ $S$ da lugar a una curva de $p^t$ de punto en $S^t$. La velocidad de $\dot{p} = \left.\tfrac{d}{dt}\right|_{t=0} p^t$ de las curvas de $p^t$ $t = 0$ se llama el variacional campo de vectores $V$ a lo largo de $S$.

La variación $S^t$ se llama normal si $V = \phi N$ donde $N$ es la unidad normal de campo vectorial a lo largo de $S$.

La declaración precisa es que para una variación normal con variacional de vectores $V = \phi N$ el derivado de la forma de volumen en $t=0$ implicará la media de la curvatura de la siguiente manera: $$\left.\tfrac{d}{dt}\right|_{t=0} dS^t = 2 \phi H \, d S$$ donde $H$ es la media de la curvatura de $S$

Answer 2

Gracias a Yuri quien declaró la fórmula. Aquí viene una prueba simple. El uso de Yuri la notación, $$dS^t=\sqrt{\det(g_t)}du^1\wedge du^2$$ Donde ${(g_t)}_{ij}=\langle f_i, f_j\rangle=\langle \frac{\partial}{\partial u^i}, \frac{\partial}{\partial u^j}\rangle$ es la primera forma fundamental. De la wiki, tenemos $\frac{d}{dt}(\det(g_t))=\det(g_t)tr(g_t^{-1}\dot{g_t})$, por lo tanto $$\frac{d}{dt}dS^t=\frac{d}{dt}\sqrt{\det(g_t)}du^1\wedge du^2$$ $$=\frac{1}{2\sqrt{\det(g_t)}}\det(g_t)tr(g_t^{-1}\dot{g_t})du^1\wedge du^2$$ $$=\frac{1}{2}tr(g_t^{-1}\dot{g_t})dS^t$$

También de la wiki, $H=\frac{1}{2}tr(g_0^{-1}\mathrm{I\!I})$, así que si podemos mostrar que $\dot{g_0}=2\phi\mathrm{I\!I}$ vamos a obtener el resultado deseado: $$\frac{d}{dt}dS^t|_{t=0}=\frac{1}{2}tr(g_0^{-1}\dot{g_0})dS=\phi tr(g_0^{-1}\mathrm{I\!I})dS=2\phi H dS$$ Para mostrar que $\dot{g_0}=2\phi\mathrm{I\!I}$, es un cálculo directo: $$(\dot{g_t})_{ij}=\frac{d}{dt}\langle f_i,f_j\rangle=\langle \frac{d}{dt}f_i,f_j\rangle+\langle f_i,\frac{d}{dt}f_j\rangle$$ $$= \langle \frac{\partial}{\partial_{u^i}}f_t,f_j\rangle+\langle f_i,\frac{\partial}{\partial_{u^j}}f_t\rangle$$ $$= \langle \frac{\partial}{\partial_{u^i}}\phi N,f_j\rangle+\langle f_i,\frac{\partial}{\partial_{u^j}}\phi N\rangle$$ $$= \phi \langle \frac{\partial}{\partial_{u^i}} N,f_j\rangle+\phi \langle f_i,\frac{\partial}{\partial_{u^j}} N\rangle$$ $$= \phi \langle N_i,f_j\rangle+\phi \langle f_i,N_j\rangle=2\phi\mathrm{I\!I}_{ij}$$