Puede $\mathbb{Z}_8$ ser el colector de un subgrupo de un grupo?

Question

Yo estaba tratando de construir ejemplos de grupos con pequeños derivados de los subgrupos. Me quedo atascado en la construcción de finito grupo con derivados subgrupo exactamente igual a $\mathbb{Z}_8$. Qué tal grupo existe?

Answer 1

Si $D_n$ es el diedro grupo de simetrías de un regular $n$-gon, $$D_n=\langle r,s\mid r^n=s^2=1, srs^{-1}=r^{-1}\rangle,$$ entonces es fácil mostrar que $[D_n,D_n]=\langle r^2\rangle.$

Se puede obtener el grupo cíclico de orden $8$ fuera de este?