Considerar $P(A_i) = 1,\,\forall i \in \mathbb{N}.$prueba de % que $P\left(\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \right) = 1.$

Question

He estado trabajando en algunos de los problemas difíciles en mi libro de estadística, y me vine a través de un problema que estaba teniendo algunas dificultades. Considere la posibilidad de $$ P(A_i) = 1,\,\forall i \in \mathbb{N}.$$ Quiero demostrar que la $$P\left(\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \right) = 1.$$ Puedo ver que la intuición viene aquí, pero es difícil para mí totalmente de ver. Me había imaginado inicialmente que yo podría simplemente crear un enorme condicional de la cadena, es decir, $P $\left(\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i | \bigcap_{i=2}^{\infty} A_i\right) P\left(\bigcap_{i=2}^{\infty} A_i | \bigcap_{i=3}^{\infty} A_i\right) ... =P\left( A_1 | \bigcap_{i=2}^{\infty} A_i\right) P\left(A_2 | \bigcap_{i=3}^{\infty} A_i\right) ...,$$ Sin embargo, no estoy seguro de lo que debo hacer para calcular correctamente estos, tampoco estoy del todo seguro de si esto era lógica y razonable en términos de la definiciones de probabilidad. Alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencia: $P( (\cap_i A_i)^C) = P( \cup_i A_i^C) \leq \sum_i P(A_i^C) = \sum_i (1-P(A_i)) = \sum_i (1-1) = 0$.

Answer 2

Que $(\Omega, \mathscr F,P)$ ser el espacio de probabilidad. Otra forma de hacerlo es señalando que los dos eventos, $A,B \in \mathscr F$ son equivalente if $P(A \triangle B)=0$ y $A^*=\{B \in \mathscr F: P(A \triangle B)=0\}$ luego $P(B)=P(A)$ por cada $B \in A^*$.

Por eso queremos mostrar que $\cap_n A_n$ es equivalente a $\Omega$ ya que esto significaría $P(\Omega) =1 =P(\cap_nA_n)$

$P(\cap_nA_n \triangle \Omega)= P(\cap_nA_n \setminus \Omega)+P(\Omega \setminus \cap_nA_n) = P(\Omega \setminus \cap_nA_n)=P(\Omega \cap \cup_nA_n^c)=P(\cup_nA_n^c)\le\sum_nP(A_n^c)=0$

$\Rightarrow P(\cap_nA_n \triangle \Omega)=0$

$\Rightarrow P(\cap_nA_n)=P(\Omega)=1$