Condición que implica la racionalidad de $u^n+v^n$

Question

$Given :\ u+v \ is \ rational, \ u^2 + v^2 =1 \ , prove \ v^n + u^n \ is \ rational$ .

Lo que he hecho hasta ahora es demostrar que $uv$ es racional expandiendo $(u+v)^2$ . I ampliado $(u+v)^n$ utilizando la expansión binomial, pero no creo que esta sea la forma adecuada.

¿Alguna pista sobre cómo probarlo, por favor?

Answer 1

De la condición dada, $(u+v)^2=u^2+v^2+2uv=1+2uv$ es racional implica $uv$ es racional. $u^{n+2}+v^{n+2} = (u+v)(u^{n+1}+v^{n+1})-uv(u^n+v^n)$

desde $u+v$ y $uv$ son racionales, y la afirmación es cierta para $n=1,2$ , $u^n+v^n$ es racional para todos los enteros positivos $n$ por inducción.

Answer 2

Relacionado con otra respuesta y comentario, pero quizás menos "mágico" y más motivado.

Se da que $u+v$ es racional, y has demostrado que $uv$ es racional. Por el teorema del binomio, $$\eqalign{u^n+v^n &=(u+v)^n-\binom n1u^{n-1}v-\binom n2u^{n-2}v^2-\cdots -\binom n{n-2}u^2v^{n-2}-\binom n{n-1}uv^{n-1}\cr &=(u+v)^n-\binom n1(uv)(u^{n-2}+v^{n-2}) -\binom n2(uv)^2(u^{n-4}+v^{n-4})-\cdots\ .\cr}$$ Ahora cada término del lado derecho es racional por lo que ya sabes, o se puede suponer que es racional por inducción.