Encontrar el conjunto fundamental de la solución de una ecuación diferencial de orden superior

Question

El conjunto fundamental de la solución $$y^{(4)} - 16y = 0$$

He resuelto este problema pero tenía la impresión de que puedo aplicar el método general de la ecuación característica para resolver :

$$ r^4 - 16 = 0$$

$r = \pm 2 $ así que mis soluciones son $e^{2t} $ y $e^{-2t}$ y luego puedo usar el Wronskian para comprobar si es fundamental o no. Si $$W(e^{2t}, e^{-2t}) \neq 0 $$ entonces es fundamental (y también linealmente dependiente).

Esto es cierto. Sin embargo, la solución del libro a este problema es $$e^{2t}, e^{-2t}, cos(2t),sin(2t)$$

Pero no entiendo por qué podría haber funciones sinusoidales en el conjunto de soluciones fundamentales ya que la solución gen. del problema no tiene parte imaginaria.

Answer 1

Su error está aquí:

... $r = \pm 2 $ así que mis soluciones son $e^{2t} $ y $e^{-2t}$ ...

Tenga en cuenta que $r^4-16=(r^2-4)(r^2+4)=(r-2)(r+2)(r-2i)(r+2i)$ .

Por tanto, una base de soluciones viene dada por $\{t\mapsto e^{-2t}, t\mapsto e^{2t}, t\mapsto \cos (2t), t\mapsto \sin (2t)\}$ en algún intervalo no degenerado $I$ .

La teoría da que el conjunto anterior es de hecho una base, por lo que no es necesario calcular el Wronskian para concluir esto.

Answer 2

Desde $r^4=16$ es una ecuación de cuarto grado, tiene 4 raíces: $\pm2, \pm2i$ . Ahí es donde $\sin(2t)$ y $\cos(2t)$ vienen de.

Answer 3

Se han publicado dos respuestas excelentes, pero tu pregunta parece sugerir que podrías entender que hay raíces complejas y objetar su inclusión en el conjunto fundamental de soluciones. Si ese es el caso, intentaré explicarlo aquí.

Los apuntes matemáticos en línea de Paul hacen un buen trabajo al describir cómo $e^{rt}, r \in \mathbb{C}$ realmente "producen" soluciones de valor real, así que lo publicaré aquí primero. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/ComplexRoots.aspx

Sin embargo, creo que hay otra explicación que es realmente bonita, y viene del hecho de que las CCLDEs actúan como operadores lineales sobre las soluciones (las CCLDEs implican una diferenciación repetida, y la diferenciación es una operación lineal) - esperemos que estés familiarizado con lo que es un operador lineal, pero si no, se puede explicar. Si representamos una ecuación diferencial como un operador lineal $L$ entonces las soluciones a esa ecuación diferencial son funciones $y$ tal que $L(y) = 0$ . Desde $L$ es lineal, se deduce que si $L(af(x) + bg(x)) = 0$ (donde $a$ y $b$ son constantes), entonces $aL(f(x)) + bL(g(x)) = 0$ . Por lo tanto, si $\cos x + i\sin x$ es una solución de nuestro CCLDE, entonces se deduce que $L(\cos x + i \sin x) = 0$ y así $L(\cos x) + iL(\sin x) = 0$ . Pero $L(\cos x)$ y $L(\sin x)$ son de valor real, por lo que debemos tener que $L(\cos x) = 0$ y $L(\sin x) = 0$ . Así que $\cos x$ y $\sin x$ están en el conjunto fundamental de soluciones.

Esto puede ser un poco exagerado, pero espero que ayude. (Si alguien se da cuenta de algún error garrafal en mi explicación, por favor, edítelo).