Todas las funciones continuas son analíticas

Question

Esto podría ser muy tonto para preguntar, pero de alguna manera esta secuencia de resultados son lo que me llevó a este mal resultado. Estoy tratando con el análisis complejo y la equivocación estoy haciendo podría ser porque estoy usando algunos de los resultados de análisis real.

Si una función, $f(z)$, es continua en simplemente conectado dominio, entonces es Riemann integrable y por lo tanto su antiderivitive, $F(z)$, va a existir y por otra parte la antiderivada será derivable en el dominio.

Esto implica que $F(Z)$ es analítica, ya que es diferenciable en el barrio de todos los puntos.

Lo que también significa que es infinitamente veces diferenciable.

Y, por tanto, aun $f(z)$ es infinitamente veces diferenciable y, por lo tanto, $f(z)$ también es analítica.

Answer 1

El segundo punto es donde se rompe. La primitiva existe iif el integral de un punto a otro es independiente del camino que se toma que no está garantizada por la continuidad.

Answer 2

Están mezclando differentiability complejo y differentiability verdadero.

Answer 3

Tomar $f$ definido en la línea real en $f(x) = e^{-1/x}$ $x>0$ y $f(x)=0$ si $x\leq 0$. La función $f$ es continua y es incluso infinitamente diferenciable, en la línea verdadera, pero no es analítica. De hecho, demuestre que el $f^{(n)}(0)=0$ % todo $n$, que muestra que el $f$ que no puede ser analítico en cualquier intervalo contiene $0$ en su interior, ya que entonces sería (por continuación analítica) igual a la función cero.