¿Por qué don ' t distinguimos velocidad wrt posición en el Lagrangiano?

Question

En la Analítica de la Mecánica, el Lagrangiano es una función de $x$ $\dot{x}$ donde $x$ es sinónimo de posición y es una función del tiempo y de la $\dot{x}$ es su derivada respecto del tiempo.

Para establecer mi pregunta, vamos a considerar el movimiento de una partícula a lo largo de una línea:

$$x: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~~as~~ t \mapsto x(t)$$

y tomar el Lagrangiano:

$$L(x, \dot{x}) := \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)$$

Mediante la aplicación de Euler-Lagrange las ecuaciones:

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{L}}{\partial\dot{x}}\right) = \frac{\partial{L}}{\partial x}$$

de vuelta, la ley de Newton del movimiento.

De esta manera se sigue formalmente en los que consideramos que $x$ $\dot{x}$ como independiente, pero si tenemos en cuenta $\dot{x}$ como la velocidad, entonces se trata de una función de la posición, así que cuando tenemos parcialmente diferenciar $L$ wrt $x$ $\dot{x}$- términos no debería desaparecer y se echa a perder la derivación. Lo estoy entendiendo mal?

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Estoy empezando a pensar que ésta no es una pregunta, como algunas personas parecen haber sugerido y voy a ser confundido por el lado alegre de las matemáticas en la física básica de los libros de texto.

En el ejemplo anterior, vamos a considerar la $C$ a ser el espacio de configuración de la partícula. Localmente $C$ está dado por el conjunto de coordenadas la función $x: U \to \mathbb{R}$, la tangente bundle $\pi: TC \to C$ ser localmente trivial tiene como coordinar las funciones de encima $U$: $(x\circ \pi) \oplus dx: TU \to \mathbb{R^2}$.

Tomamos el Lagrangiano de ser simplemente un funcional: $TC \to \mathbb{R}$, que cuando se escribe localmente es en términos de$x$$\frac{\partial}{\partial x}$.

Pero, ¿y el punto en $\dot{x}$?

Dicen que la partícula recorre $\gamma: I \to C$, donde el intervalo de $I$ es el tiempo. Deje $\gamma(0) = p \in C$. A nivel local en términos de $x$, ya que contamos con $\gamma_{\ast}(\frac{d}{dt}\rvert_0)$$T_{p}C$, obtenemos $dx(\gamma_{\ast}(\frac{d}{dt}\rvert_0)) = \dot{x \circ \gamma}(0)$, lo que nos puede abuso de notación y escritura como $\dot{x}(p)$, por lo que el punto correspondiente en el conjunto se parece a $(x(p), \dot{x}(p))$.

¿Tienen sentido o que tienen es que hay algo que me falta todavía?

Answer 1

Esta es una excelente pregunta! Y la respuesta tiene sus raíces en el origen de Euler-Lagrange las ecuaciones como soluciones a Hamilton variacional.

Recordemos que el de Euler-Lagrange las ecuaciones son el resultado de extremising la acción $$S(q[t]) = \int_0^T L(q, \dot q)\,dt.$$ Es convencional para escribir $L$ como función de $q$ $\dot q$ (y esto le llevará a las más limpias de la formulación de Euler-Lagrange las ecuaciones), pero no es rígidamente requerida: usted podría agregar $q^2$ como un tercer argumento a la función $L$, si realmente quería, y, por supuesto, $q$ $q^2$ no son independientes.

Ahora la costumbre derivación es para ver las variaciones $\delta q(t), \delta q(0) = \delta q(T) = 0$, lo que produce

$$\frac{d}{ds}S(q[t]+s\delta q[t])\Bigg\vert_{s\to 0} = \int_0^T \left[(D_1 L)(q, \dot q)\delta q + (D_2 L)(q,\dot q) \delta \dot q\right]\,dt,$$ donde $D_iL$ significa que la diferenciación $L$ con respecto al $i$th parámetro. Observe que el anterior, de ninguna manera requiere que los valores que están enchufados a $L$ (es decir,$q$$\dot q$) son independientes! $D_1L$ se escribe a menudo como $\frac{\partial L}{\partial q}$, pero esto es un abuso de notación: somos simplemente la diferenciación de los dos parámetros de la función $L$ con respecto al primer argumento, sin saber, sin preocuparse de lo que eventualmente se enchufe en $L$.

Ahora aplicamos la costumbre de integración por partes,

$$\int_0^T \left[(D_1L)(q,\dot q) - \frac{d}{dt}\left[(D_2L)(q,\dot q)\right]\right]\delta q = 0,$$ donde el tiempo derivativo, a diferencia de los dos derivados de $L$, que ocurre después de conectar $q$$\dot q$, y recuperar la costumbre de las ecuaciones de movimiento mediante la toma de $\delta q$ a golpe funciones en todo momento en $(0,T)$.

Answer 2

Esta es una excelente pregunta (y yo soy parcial porque yo también lo tienen) nadie parece capaz de responder bien. Aquí hay algunos hilos sobre ella he encontrado que discutir:
(1) http://physics.stackexchange.com/questions/168551/independence-of-position-and-velocity-in-lagrangian-from-the-point-of-view-of-ph
(2) http://physics.stackexchange.com/questions/885/why-does-calculus-of-variations-work

La mejor en la que he sido capaz de discernir es la siguiente: la de Euler-Lagrange ecuación esencialmente define la velocidad a la derivada de la posición con respecto al tiempo. Sin asumiendo que el de Euler-Lagrange ecuación, la velocidad es NO el tiempo derivado de la posición.

Cuando consideramos el espacio de fase, $q$ $\dot{q}$ son variables, así que voy a denotar $\dot{q}=r$. I. e. en general NO hay una relación existe entre el$q$$\dot{q}$.

Así que el Lagrangiano es sólo una normal función de dos variables.

(En el caso más simple, el espacio de fase es sólo $\mathbb{R}^3$ con hachas $t,q,r$).

De Euler-Lagrange ecuación nos da una curva particular en el espacio de fase (NO todos los de la fase de espacio).

La curva es en tres dimensiones y podemos proyectarlo en el $tq$ plano.

En este plano, la curva pasa a definir $q$ implícitamente como una función de la $t$ (no sé cómo probar esto o exactamente por qué es verdad, pero no parece ser el caso).

Así que tenemos una función, denota $x : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que para todo $t$: $x(t)=q$, es decir,$x: t \mapsto q$.

Por alguna razón (que yo también no saben y no pueden probar) $x(t)$ es una función derivable de $t$. Por lo $x'(t)$ está bien definido para todos los $t$.

Por lo tanto, para cada punto de $t \in \mathbb{R}$, tenemos un punto en $\mathbb{R}^2$=tq-plano que es $(t, x(t))=(t,q)$ definida implícitamente por la proyección de la curva dada por la solución de Euler-Lagrange ecuación.

Por lo tanto, dado cualquier punto en la proyección de la curva en la ca-plano, consideramos que el punto original en $\mathbb{R}^3$ fue proyectado desde --> $(t,q,r)=(t,x(t),r)$.

Ahora el de Euler-Lagrange las ecuaciones son tales que resulta que $x'(t)=r$ (no sé cómo probar esto), por lo tanto, nuestro punto de esta curva en el espacio de 3 dimensiones puede ser escrito como $(t,x(t),x'(t))=(t,x(t),r)=(t,q,r)$.

Desde los físicos ya sabemos de antemano que, para la curva en el 3-espacio definido por la de Euler-Lagrange ecuación que se van a examinar (tenga en cuenta que no consideran que cualquier parte que queda de la fase de espacio donde esto NO es cierto, va a ser cierto que $r=x'(t)$$q=x(t)$, que acaba de llamar a las variables $x$ $\dot{x}$ es decir

La notación que los físicos utilizan es un descuidado abuso de notación que se supone de antemano que sólo la solución de la curva de Euler-Lagrange de la ecuación (que es equivalente al principio de la menor acción) llevará a cabo (ya que siempre hay que asumir que se tiene).

Así que, en cierto sentido (si se considera la totalidad de la $r$ eje en el espacio de fase, y no sólo a aquellos puntos que son parte de la solución de la curva de Euler-Lagrange ecuación) $\dot{x}$ no es la velocidad de $x$, por lo que realmente son sólo las variables independientes.

Me encantaría ver a una rigurosa prueba de todo esto a mí mismo, pero hasta el momento esta es la única respuesta que tiene sentido para mí.

Una imagen que tipo de explica la idea de lo que estoy tratando de decir:

Answer 3

Creo que su se confundan con las anotaciones de la derivada parcial. Si $L$ es una función de dos variables, $L:(x,y)\mapsto L(x,y)$, $\dfrac{\partial L}{\partial x}$ es la derivada con respecto a la primera variable y $\dfrac{\partial L}{\partial y}$ w.r.t a la segunda (si escriben estas derivados$\partial_1 L$$\partial_2 L$, que no es posible la confusión). A continuación, $x$ $y=\dot x$ son dos independientes las variables de la función de $L$ $\partial_2 L$ es el derivado de la $L$ w.r.t. la segunda variable. Aquí, usted necesita para evaluar esta derivada segunda en un valor determinado (es decir,$\dot x$).

En resumen, $x$ $\dot x$ son independientes de las variables de $L$.

Answer 4

[Segunda respuesta, por separado porque es diferente]

Tal vez esto te ayudará: esta independencia de la posición y la velocidad puede verse en la ecuación de Newton: es una ecuación diferencial de segundo orden . Para resolver (únicamente) para un sistema de 1 GDL, necesita dos iniciales condiciones (posición inicial y velocidad inicial).

Answer 5

Que el Lagrangiano de la partícula que se mueve a pequeñas velocidades puede ser expresada en el formulario establecido es una observación experimental. El principio de la menor acción de los límites de la forma en la que la partícula puede explorar su espacio de fase. Para la aplicación de al menos el principio de la acción para determinar la ecuación de movimiento, las coordenadas y la velocidad tendría que ser tratada de forma independiente, a continuación,. Es posible pensar en una situación en la que el Lagrangiano dependería también en $\ddot{x}$, en cuyo caso $x$, $\dot{x}$ y $\ddot{x}$ serían tratados de forma independiente. Nuestro mundo no parece comportarse de esa manera.