¿Isomorfismo de espacios de Banach implica isomorfismo de duelos?

Question

No puedo hacer que mi mente si esta pregunta es trivial, o simplemente mal, así que me decidí a pedir, en caso de que alguien ve un error en mi razonamiento:

Pregunta: Supongamos $V,W$ son dos espacios de banach, y $T:V\to W$ es un isomorfismo. Es $T^*:W^*\to V^*$ un isomorfismo?

Por un lado, esto parece trivial - se requiere un poco de trabajo, pero se puede mostrar que el $T^*$ es inyectiva, dado que el $T$ es surjective sin tener que trabajar demasiado duro, así que si $T^*$ es también surjective, la asignación abierta teorema debe terminar el trabajo por nosotros:

Para mostrar esto, vamos a $f\in V^*$ ser arbitraria. A continuación, $f\circ T^{-1}:W\to \mathbb{C}$ es limitado y lineal (desde $T^{-1}$ $f$ ambos), y $$T^*(f\circ T^{-1})(w)=f\circ T^{-1}(Tw)=f(w)$$

de nuevo, este se encuentra (a mí, al menos), para ser correcta, pero mi poca experiencia con los espacios de Banach me ha enseñado a temer a tales resultados inmediatos, cuando se habla de duales :-P...

de todos modos, yo sería muy feliz si alguien me podria decir si estoy en lo correcto, o de lo contrario, dar un contra-ejemplo, o apuntar a un error.

Además, suponiendo que esto no es tan inmediata como pensé - ¿la afirmación de mantener al $T$ es un isomorfismo isométrico?

Muchas gracias :-)

(p.s he añadido la tarea de la etiqueta, ya que esta pregunta surgió como parte de un h.w asignación, pero esto no es un h.w pregunta per-se)

Answer 1

Para la primera parte, su argumento está bien.

Yo diría que:

1. Para cada espacio de Banach $V$ tenemos $(1_{V})^\ast = 1_{V^\ast}$
2. Para delimitada lineal mapas que tenemos $(ST)^\ast = T^\ast S^\ast$.

Esto implica que para $S: V \to W$ $T: W \to V$ tal que $ST = 1_{W}$ $TS= 1_{V}$ que $T^\ast S^\ast = 1_{W^\ast}$$S^\ast T^\ast = 1_{V^\ast}$, en otras palabras $(S^{-1})^\ast = (S^\ast)^{-1}$.

Como para isométrica isomorphisms, compruebe que el inverso de un isomorfismo isométrico es isométrica y que el adjunto de un isomorfismo isométrico es isométrica, demasiado.

Sin necesidad de invocar la asignación abierta teorema de cualquier lugar.

Answer 2

Algunos consejos

1) cada Funtor preserva isomorfismos.

2) el mapa $$\begin{align} {}^*&:\operatorname{Ban}\to\operatorname{Ban}&:&W\mapsto W^*\\ &:\mathcal{B}(U,V)\to\mathcal{B}(V^*,U^*)&:&T\mapsto T^* \end {Alinee el} $ es un Funtor contravariante desde la categoría de los espacios de Banach en categoría de espacios de Banach.

3) para el caso de isomorfismo isométrico considerar restricción del functor de $^*$ en la categoría de los espacios de Banach con mapas contractivos.