Demostrar que $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n}$ es un número entero para cada $n \in \mathbb{N}$

Question

Demostrar que $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n}$ es un número entero para cada $n \in \mathbb{N}$

Sé que hay herramientas en la teoría de números a prueba la necesaria, pero quiero usar la herramienta que dice que si usted puede probar que una expresión resuelve un problema combinatorio, entonces representa un número entero para cada $n \in \mathbb{N}$

Mi solución es, suponga que se nos da $n^2$ perlas, $n$ bolas de cada color de $n$ colores, y nos quiere colocar en una fila ($(n^2)!$) ahora ya tenemos $n$ grupos de colores y cada grupo ha $n$ cuentas, tenemos que cancelar el interior de la ordenación de cada uno de los grupos, lo que nos da $(n!)^n$ para todos los posibles interior tipo de las perlas.

Será que la prueba de trabajo? ¿Cuáles son sus defectos?

Answer 1

El argumento puede ser continuado para dar un adicional de $n!$ de divisibilidad.

Después de la eliminación de la redundancia del interior del pedido dentro de los grupos, los grupos pueden ser clasificados en relación a cada uno de los otros (por lo menos elemento, o en cualquier otra forma que le da un pedido único).

Por lo tanto $\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$ es un número entero, igual al número de particiones de $n^2$ diferentes objetos en $n$ juegos de $n$.

Answer 2

La prueba parece funcionar.

Para añadir un poco de formalismo, usted puede probar que $n$ copias de el grupo simétrico $S_n$ es un subgrupo de $S_{n^2}$ considerando $n$ distintos soportes de tamaño $n$. Luego del teorema de Lagrange concluye la prueba. Esencialmente, esta es la misma prueba como el tuyo.