Hechos aparentemente contradictorios sobre si las clases de Chern determinan o no un haz de líneas.

Question

Todas las variedades se alisarán cuando sea necesario.

Anteriormente aprendí que la primera clase de Chern de un haz de líneas sobre una variedad algebraica no determina el haz hasta algebraico es decir, el mapa $$ \alpha: \quad\operatorname{Pic}(X) \longrightarrow A^1(X) $$ enviando un haz de líneas a su primera clase de Chern puede tener un núcleo no trivial. (¿no es este núcleo no nulo siempre que la variedad albanesa sea no trivial?)

(véanse los comentarios sobre ¿Son los paquetes vectoriales en $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ de cualquier rango completamente clasificados? (interés principal $n=3$ ) )

Sin embargo, cito de las notas de Gathmann "La clase superior de Chern $c_r(F)$ tiene la interpretación geométrica adicional de ser el lugar cero de una sección de $F$ ". Aquí $F$ es un haz de rango $r$ . En el caso de los haces lineales, se trata de la primera clase de Chern.

Encontré la misma afirmación en las notas de Zach Teitlers: http://works.bepress.com/cgi/viewcontent.cgi?article=1001&context=zach_teitler ver dato 10.

El problema que tengo es que estas afirmaciones parecen contradictorias: se sabe que un haz de líneas sobre una variedad lisa está completamente determinado hasta el isomorfismo por el divisor de ceros de una sección. Pero según Gathmann, ésa es exactamente su primera clase de Chern, por lo que Gathmann está diciendo básicamente que $c_1(\mathcal{L})$ hace determine $\mathcal{L}$ hasta isomorfismo.

Pregunta 1: ¿Puede alguien aclarar esta contradicción? ¿Acaso tanto Gathmann como Teitler parten del supuesto de que $\alpha$ es inyectiva? ¿O me estoy perdiendo algo? (soy nuevo en este tema)

Pregunta 2 (probablemente relacionada): Teitler explica el método de los loci de degeneración para calcular las clases de Chern de un haz. Tengo la sensación de que este método necesita supuestos especiales sobre la variedad para funcionar, que Teitler no explica. ¿Es esto cierto? Asume proyectividad, suavidad e irreducibilidad, ¿son necesarias?

Gracias.

Answer 1

Para responder a la pregunta 1: ¡sí, es confuso! La explicación es que para (digamos) variedades algebraicas complejas, hay diferentes "sabores" de clase de Chern, que toman valores en diferentes grupos: topológico clases de Chern, que toman valores en la cohomología $H^*(X,\mathbf{Z})$ y algebraico clases de Chern, que viven en los grupos de Chow $A^*(X)$ . Existe una llamada mapa ciclista $A^*(X) \rightarrow H^*(X,\mathbf{Z})$ vinculando a ambos.

En mi comentario a la pregunta enlazada, lo que decía es que el topológico primera clase de Chern $c_1^{top}(L)$ que es un elemento de $H^2(X,\mathbf{Z})$ no determina el haz de líneas $L$ .

Sin embargo, las declaraciones de Gathmann y Teitler se refieren ambas a la (más refinada) algebraico primera clase de Chern, $c_1^{alg}(L)$ . Toma valores en $A^1(X)$ que es exactamente lo mismo que $Pic(X)$ .

En muchas menos palabras, su mapa $\alpha$ es siempre un isomorfismo. El mapa que puede tener un núcleo no trivial es el mapa de ciclos $A^1(X) \rightarrow H^2(X,\mathbf{Z})$ .

Un buen ejemplo a tener en cuenta es una curva elíptica $E$ . En una curva de este tipo, cada punto $p$ tiene un haz de líneas asociado $O(p)$ y éstas no son isomorfas para puntos diferentes. Por otra parte, dos puntos cualesquiera dan claramente la misma clase en $H^2(X)$ .