Explicit Direct Summands en el Teorema de la Descomposición

Question

Sea f:X→Y una semismall resolución de singularidades. A continuación, el pushforward de la constante de gavilla en X es un semisimple perversa gavilla en Y. en estas condiciones, yo sé cómo calcular los sumandos directos de la pushforward f_*ℚ_X[dim X].

Mi pregunta es la siguiente: ¿Qué declaraciones más generales están ahí, que nos permiten calcular explícitamente la directa sumandos de la pushforward? Estoy pensando especialmente en el caso en que f:X→Y es como antes (así, en particular, semismall), pero vamos a reemplazar el constante gavilla ℚ_X con un arbitrario perversa gavilla (geométrico de origen).

Answer 1

Estoy de acuerdo con Ben que la pregunta es un poco confuso.

Hay dos posibles preguntas:

¿Cómo se calcula directa sumandos de la imagen directa cuando empezamos con un IC (no necesariamente la constante gavilla) en la fuente?

En este caso creo que la imagen directa no necesita ser perverso. En el que caso de que usted está en la situación general de la descripción de los sumandos directos de un semi-simple complejo, para lo cual es necesario conocer a los personajes de todos los IC, o ser muy inteligente.

¿Cómo se calculan los sistemas locales que ocurren en la imagen directa de la constante gavilla?

Ben describe lo que sucede arriba. Semi-pequeño significa que la fibra durante cada estrato de la base de dimensión limitada por la mitad de la codimension del estrato (un número que llamaremos d). El sistema local está dado por el sistema local de 2d^th cohomology de la fibra.

En la semi-pequeña situación, esto es hermoso: el 2d^th cohomology de la fibra es cero si el estrato no es relevante, y tiene una base dada por clases fundamentales de irreductible componentes si el estrato es relevante.

Tenga en cuenta que el grupo fundamental del estrato actúa sobre la irreductible de los componentes de la fibra a través de monodromy, y este es precisamente el sistema local de que usted consigue. (Un inciso, esto explica por qué los sistemas locales son semi-simple, aunque el grupo fundamental podría ser infinita: la representación siempre factores a través de la permutación en el grupo irreductible de los componentes.)

Aprendí esto en el hermoso artículo de "El Duro Teorema de Lefschetz y la topología de semismall mapas" de Cataldo y Migliorini.

Answer 2

Estoy un poco confundido acerca de su pregunta. Si usted sólo quiere saber lo que los sumandos son no hay nada especial acerca de f_*ℚ_X[dim X]. La única manera que conozco de la comprensión de esa gavilla es un algoritmo general para la comprensión de todos los semi-simple perversa de las poleas. El sólo hecho de que se utilice es que un simple perversa gavilla se concentra en el grado máximo permitido por la perversidad en el mayor estrato en su apoyo, y estrictamente por debajo de este grado en todos los estratos (necesito algunas hipótesis para esto? Este tiende a ser el tipo de cosa que se me olvida).

Así que, si tengo un semi-simple perversa gavilla F, todo lo que tengo que buscar en la restricción de F a cada estrato. Este será un complejo, cuya cohomology en cada término es un sistema local. La perversidad incluye un límite superior en los grados en que este cohomology puede ser distinto de cero. Me tome el sistema local en el máximo grado permitido por la perversidad en cada estrato, y tomar la IC gavillas de todos los sistemas locales. Sucede que en el caso de f_*ℚ_X[dim X], este sistema local tiene una interpretación geométrica (es el más alto grado cohomology de la fibra permitido por la semi-pequeñez), pero esa es la única cosa que es especial acerca de este caso.