Derivación del principio de incertidumbre de Heisenberg en un anillo

Question

La derivación estándar

Pero ahora supongamos que el espacio es un anillo de longitud$L$, parece que la derivación podría funcionar exactamente igual y obtenemos$$\Delta p \Delta x \geq \hbar/2.

Pero como$\Delta x$ es limitado, y si elegimos un estado propio de momentun, podemos lograr$$\Delta p \Delta x = 0.

¿Qué pasa aquí?

Answer 1

El punto es que el dominio $D(P)$ $P$ debe ser tal que $P$ es (esencialmente) auto-adjunto al respecto. De lo contrario, no representan un observable. Estoy asumiendo que $D(X)= L^2([0,L],dx)$ lugar donde $X$ es auto-adjunto.

El vector $\psi$ utiliza para demostrar la desigualdad de Heisenberg tiene que pertenecer a $D(PX) \cap D(XP)$ como se puede ver por inspección directa quería probar la desigualdad.

En $L^2(\mathbb R, dx)$ hemos $D(P)\cap D(X) \supset {\cal S}(\mathbb R)$ el subespacio del espacio de Schwartz funciones que también es invariante bajo$X$$P$, de modo que cualquier $\psi \in {\cal S}(\mathbb R)$ puede ser utilizado en las desigualdades de Heisenberg, por ejemplo.

En el presente caso existe una definición natural de $D(P)$ sobre el anillo de la longitud de la $L$ $P$ esencialmente auto-adjoiont: $D(P)$ es el espacio de la $C^1$ funciones $\psi(0)= \psi(L)$.

En este caso nos encontramos con $D(PX)= \{0\}$.

(La regularidad condición podría ser debilitado el uso de una noción débil de la derivada, pero esta versión más débil de la definición inicial de $P$ no cambia la conclusión final.)

Con dicha definición $P$ resulta ser esencialmente auto-adjunto con el puro punto de espectro de los puntos de $\frac{2\pi n}{L}$ donde $n \in \mathbb Z$ y asumo $\hbar=1$. Los correspondientes vectores propios son

$$\psi_n(x) = \frac{e^{i 2\pi n x/L}}{\sqrt{L}}$$

usted ver que $\psi_n \not \in D(PX)$ $[0, L] \ni x \mapsto x\psi_n(x)$ no pertenece a $D(P)$. Por lo tanto, la conclusión de $$\Delta P_{\psi_n} \Delta X_{\psi_n}=0$$ no viola la desigualdad de Heisenberg sólo porque no es válido con dicha definición de $X$$P$.

Por otro lado, es discutible si estos $X$ $P$ son correctos representaciones de la posición y el impulso de las operadoras, porque no se cumplen los canónica relaciones de conmutación debido a que, de nuevo, $D(PX)= \{0\}$, y que estas relaciones requieren que $D(PX)\cap D(XP)$ es no trivial tiene ningún sentido físico, ya que son válidas al respecto.

En realidad no es más fundamental y general de la obstrucción para obtener natural físicamente significativa operadores de satisfacciones canónica relaciones de conmutación en el anillo.

Supongamos que estamos tan inteligente para encontrar un (denso) dominio de la (suficientemente regular) funciones de $D\subset L^2([0,L], dx)$ que nuestros inicial $X$ $P= -i d/dx$ están bien definidos, al menos Hermitian, y satisfacer el estándar relaciones de conmutación al respecto. Un conocido teorema de por Nelson (en realidad ya obtenidos por Dixmier en este caso en particular) se unió con la famosa Piedra de von Neumann teorema establece que, si $X^2+P^2$ es esencialmente auto-adjunto en $D$ entonces existe un operador unitario $U : L^2([0,L], dx) \to L^2(\mathbb R, dx)$ tal que (los cierres de) $UXU^{-1}$ $UPX^{-1}$ son el estándar de auto-adjunto de la posición y el impulso de los operadores en $L^2(\mathbb R, dx)$ (*).

Esto es imposible, porque la $UXU^{-1}$ sería ilimitada , mientras que los $X$ está acotada. Esencialmente equivalente absurdum es que $X$ $\mathbb R$ e no $[0,L]$ como el espectro.

En principio, usted puede encontrar algunos de los dominios más comunes donde $X$ (definida en el conjunto de la $L^2([0,L],dx)$) y $P$ (definida inicialmente como un $-i$ veces un derivado) satisfacer canónica relaciones de conmutación y por lo tanto también la desigualdad de Heisenberg, pero usted tiene que renunciar a algunos físicos relevantes de la propiedad. En particular, cualquiera de las $X$ o $P$ o $X^2+P^2$ no puede representar a las características observables.

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(*) En realidad, en general, en la presencia de común cerrado subespacios invariantes, $L^2(\mathbb R,dx)$ podría ser reemplazado por una directa ortogonal de la suma de severl de copias, dejando sin cambios el resultado final.