Es

Question

Mientras se trabaja en un problema relacionado con mi investigación, he tenido la siguiente consulta. Se refiere a producto de espacios:

La Pregunta: Deje $(X,d_X)$ $(Y,d_Y)$ dos polaco (Completa separables métrica) espacios. Deje $A \subseteq X$$B \subseteq Y$. Definir

$$A^\epsilon := \{x \in X \vert \quad d_X(x,A) < \epsilon\}$$

$$B^\epsilon := \{y \in Y \vert \quad d_Y(y,B) < \epsilon\}$$

Ahora, considere el espacio del producto $(X \times Y,d_{XY})$ (advertencia: posible ambigüedad), Definir

$$(A \times B)^\epsilon = \{(x,y) \in X \times Y \vert \quad d_{XY}((x,y),A\times B) < \epsilon\}$$

Necesito mostrar que $(A \times B)^\epsilon \subseteq A^\epsilon \times B^\epsilon$.

Las Dudas y Ambigüedades: Me dio la advertencia anterior, porque en el problema que estoy trabajando actualmente , he asumido que el$$d_{XY}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = d_X(x_1,x_2) + d_Y(y_1,y_2)$$, Porque hay varias maneras en que uno podría definir una métrica en el producto de espacios, necesito uno que genera el producto de la topología(como por G. F Simmons "Topología y el Análisis Moderno" definición), obviamente. Así que mis dudas son:

1. Es la métrica elegí correcta en este sentido? Si tan amablemente proporcionar una referencia o una prueba.
2. Hay otras métricas de equivalente? Si es así, cuáles son? (Se agradece).
3. Mi verdadero problema estaba en cómo definir un producto métrica. Podría dar buenas referencias a los mismos salvo "Walter Rudin: el Real y el Análisis Complejo", "Patrick Billingsley: Probabilidad y Medida" y "G. F Simmons: Topología y el Análisis Moderno" (ya que he ido a través de estos)?

Una vez que estas dudas se despejaron, voy a ser capaz de resolver/refutar el problema original.

Las búsquedas: Como para las búsquedas, encontré este que trata de la separación de un producto métrica y muchas de esas búsquedas. Pero en todos ellos, definen el producto métrica y algunas preguntas relacionadas con la integridad etc de la siguiente manera. Quiero demostrar que es independiente de cómo se defina como siempre que genera el producto de la topología en mi problema.

Answer 1

Me las arreglé para resolverlo. Solo para el cierre, daré mi solución:

1) La métrica que elegí fue de hecho una de varias equivalentes.

2) Sí

3) Ya no es un problema.

Prueba:$$(x,y) \in (A\times B)^\epsilon \iff d_{XY}((x,y),(A \times B)) < \epsilon$ $

Ahora$$d_{XY}((x,y),(A \times B)) = \inf_{(\hat{x},\hat{y}) \in A \times B} d_{XY}((x,y),(\hat{x},\hat{y}))$ $$$= \inf_{(\hat{x},\hat{y}) \in A \times B} d_X(x,\hat{x}) + d_Y(y,\hat{y})$ $$$= \inf_{\hat{x} \in A} d_X(x,\hat{x}) + \inf_{\hat{y} \in B} d_Y(y,\hat{y})$ $$$ = d_X(x,A) + d_Y(y,B)$ $

Ahora$$ d_{XY}((x,y),(A \times B)) < \epsilon \iff d_X(x,A) + d_Y(y,B) < \epsilon$ $$$ \Rightarrow d_X(x,A) < \epsilon , \Rightarrow d_Y(y,B) < \epsilon$ $$$\Rightarrow x \in , y \in B^\epsilon$ $$$\iff (x,y) \in A^\epsilon \times B^\epsilon$ $

QED