Esta es mi pregunta:
Mostrar que si $f \in C[0,1]$ satisface $ \int_0^1 x^{2n}f(x) dx = 0 $, $f$ es la función cero.
Nota: soy consciente de que una pregunta similar a esta se le ha pedido en matemáticas SE al menos una vez, pero esas preguntas lidiar con $ \int_0^1 x^{n}f(x) dx = 0 $ es decir $n \in \Bbb N_0$ - estoy interesado en $ 2n \in 2\Bbb N_0$.
La primera parte de la pregunta era para mostrar que es verdadera cuando alguna de las $n$ es permitido. Para mostrar esto, me pidió el uso de la Aproximación de Weierstrass Teorema (véase esta cuestión).
Entonces la pregunta sigue en preguntar si es o no es cierto para $x^{2n+1}$. Esperemos que, si me pueden determinar por $2n$, entonces yo debería ser capaz de adaptarlo a $2n+1$, o si no puedo encontrar un contra-ejemplo.
Ah, y por favor nota: estoy interesado en aprender a partir de esta pregunta, así que por favor no sólo hay que poner la respuesta sin una explicación! Si puedes, me gustaría que la mayoría de apreciar una sugerencia en cuanto a cómo hacerlo, luego me voy a trabajar fuera de mí mismo.
Gracias de antemano! :)
