$$I(a,b,p)\equiv\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(p\sqrt{x^2+a^2}\right)}{\sqrt{x^2+a^2}}\cos(bx)\,dx\\\\ $$
Ejecución de la sustitución $x\to a\sinh x$ y asumiendo que $a>0$ produce
$$\begin{align} I(a,b,p)&=\int_0^{\infty}\sin\left(pa\cosh x\right)\cos(ba\sinh x)\,dx\\\\ &=\frac12\int_0^{\infty}\left(\sin\left(pa\cosh x+ba\sinh x\right)+\sin\left(pa\cosh x-ba\sinh x\right)\right)\,dx\\\\ &=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}\sin\left(pa\cosh x+ba\sinh x\right)\,dx \end{align}$$
Recordando que
$$A\cosh x+B\sinh x= \begin{cases} \sqrt{A^2-B^2}\cosh(x-\text{artanh}(B/A))&,0<B<A\\\\ \sqrt{B^2-A^2}\sinh(x-\text{artanh}(A/B))&,B>A>0 \end{cases} $$
tenemos
$$I(a,b,p)= \begin{cases} \frac12\int_{-\infty}^{\infty}\sin\left(a\sqrt{p^2-b^2}\cosh x\right)\,dx&,0<b<p\\\\ \frac12\int_{-\infty}^{\infty}\sin\left(a\sqrt{b^2-p^2}\sinh x\right)\,dx&,b>p>0 \end{cases} $$
Observando que el integrando de la primera integral es una función par de $x$ mientras que el integrando de la segunda integral es una función impar de $x$ revela
$$I(a,b,p)= \begin{cases} \int_{0}^{\infty}\sin\left(a\sqrt{p^2-b^2}\cosh x\right)\,dx&,0<b<p\\\\ 0&,b>p>0 \end{cases} $$
De la ecuación $(10.9.9)$ AQUÍ vemos que
$$\int_{0}^{\infty}\sin\left(a\sqrt{p^2-b^2}\cosh x\right)\,dx=\frac{\pi}{2}J_0\left(a\sqrt{p^2-b^2}\right)$$
para $a\sqrt{p^2-b^2}>0$ y $p>b>0$
con lo que tenemos el resultado final
$$I(a,b,p)= \begin{cases} \frac{\pi}{2}J_0\left(a\sqrt{p^2-b^2}\right)\,dx&,0<b<p\\\\ 0&,b>p>0 \end{cases} $$
para $a>0$ .
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No es así, comprueba el $\sin$ . Aunque no es difícil hacer un cambio de variable para $p > 0$ y lo normaliza efectivamente a 1, por lo que no es demasiado relevante.
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En mi edición, la nota sobre la notación bibliográfica es la última página con números romanos...ET I 26(30) es el volumen I de Erdelyi et al, Tables of Integral Transforms (1954), página 26, fórmula numerada (30). A su vez, esto puede referirse a algo anterior. authors.library.caltech.edu/43489/1/Volume%201.pdf
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Dejemos que $x=a\sinh t$ , seguido por el fórmula trigonométrica para $\sin A\cos B$ , nuevas simplificaciones y, en última instancia, la expresiones integrales para las funciones de Bessel .