Límite multivariable $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1} - 1}$

Question

$$ \lim \limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1} - 1} $$

Según mi libro de texto el límite es igual a $2$ .

Lo que he probado:

Usando el teorema del apretón:

$$ \lim \limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1}} \le \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1} - 1} \le \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1} - 2} $$ $$ 0 \le \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1} - 1} \le 0 $$

También he intentado utilizar el teorema del apretón con otras dos ecuaciones y he obtenido valores diferentes:

$$ \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2 - 1}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1}} \le \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1} - 1} \le \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2 + 1}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1} - 2} $$ $$ -1 \le \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 +y^2 + 1} - 1} \le -1 $$

Answer 1

Recuerda el diferencia de cuadrados identidad algebraica.

$$ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) $$

¿Por qué es útil? Con $A = \sqrt{x^2 + y^2 + 1}$ y $B = 1$ el denominador de su expresión es $A - B$ . Con eso en mente,

$$ \begin{align} \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1} - 1} &= \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + 1} + 1}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1} + 1} \\ &= \frac{(x^2 + y^2)\left(\sqrt{x^2 + y^2 + 1} + 1 \right)}{x^2 + y^2} \\ &= \sqrt{x^2 + y^2 + 1} + 1 \end{align} $$

Ahora, se puede evaluar el límite como $(x, y) \to (0, 0)$ simplemente por evaluación, ya que esta expresión es continua en el origen.

$$ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \sqrt{x^2 + y^2 + 1} + 1 = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1} + 1 = 2. $$

Answer 2

El siguiente "truco" puede ser útil. Dejemos que $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ . Entonces estamos encontrando $$\lim_{r\to 0}\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1}.$$ Se puede calcular utilizando cualquiera de las técnicas habituales de una variable.

Answer 3

$$ \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)}+ix $$